培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的教學(xué)研究

劉華玲

[摘 要]數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).如何在具體的課堂教學(xué)中培養(yǎng)核心素養(yǎng)，是每個數(shù)學(xué)教師應(yīng)該認(rèn)真思考的問題.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)建模;數(shù)據(jù)分析

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）32-0007-03

一、回歸分析是數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的重要載體

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確提出數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.其中數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模過程主要包括在實(shí)際情境中從教學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題.數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題.數(shù)據(jù)分析是針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng).數(shù)據(jù)分析過程主要包括收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、提取信息、構(gòu)建模型、進(jìn)行推斷、獲得結(jié)論.回歸分析是統(tǒng)計案例特別重要的模型，是數(shù)據(jù)分析的重要載體，通過 Excel 處理回歸分析中的數(shù)據(jù)過程，加強(qiáng)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程的重視，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力和提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng).

二、教學(xué)案例分析

課題：回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（第2課時）.

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.根據(jù)散點(diǎn)圖的分布特點(diǎn)建立不同的回歸模型.

2.將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，體會“轉(zhuǎn)化”思想.

3.通過殘差和R2分析，比較幾種不同模型的擬合效果，逐步改進(jìn)模型，體會“數(shù)學(xué)建模”思想.

（二）教學(xué)重點(diǎn)

將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，比較幾種不同模型的擬合效果.

（三）教學(xué)難點(diǎn)

將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，逐步改進(jìn)模型.

（四）教學(xué)過程

師：請回憶建立回歸模型的基本步驟.

生：選變量、畫散點(diǎn)圖、選模型、估計參數(shù)、分析和預(yù)測.

師：我們建立模型是為了解決實(shí)際問題.新疆是產(chǎn)棉大省.棉花在生長過程中會遭受各種蟲害，其中之一就是紅鈴蟲.有關(guān)紅鈴蟲，我們一起觀看視頻了解一下.（播放視頻）

師：通過視頻我們知道紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān)系，溫度在[20 ℃∽35 ℃]，對紅鈴蟲產(chǎn)卵最有利，為了采取有效防治措施，科學(xué)家經(jīng)過長期觀測，收集了7組數(shù)據(jù).

師：我們把溫度記作解釋變量x， 產(chǎn)卵數(shù)就是預(yù)報變量y，那么怎樣建立y關(guān)于x的回歸方程呢？

生1：畫散點(diǎn)圖，建立線性模型.

生2：不一定是線性.

教師用Excel展示結(jié)果（如圖1）.

師（追問）：散點(diǎn)圖顯示不呈線性，[R2=0.7464]，模型擬合效果不是很好.我們應(yīng)該用哪個函數(shù)擬合更好？

生1：二次函數(shù).

生2：指數(shù)函數(shù).

生3：冪函數(shù).

生4：對數(shù)函數(shù).

師：當(dāng)回歸方程不是線性時，我們稱之為非線性回歸方程.本節(jié)課我們著重探究兩類非線性回歸模型：二次函數(shù)模型[y=c3x2+c4]和指數(shù)函數(shù)模型[y=c1ec2x].今天的重點(diǎn)問題是如何將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性模型.請同學(xué)們合作探究，閱讀教材后完成表2.

（觀察散點(diǎn)圖得二次函數(shù)的對稱軸約是20） 在指數(shù)模型中為什么選擇以[e]為底的指數(shù)呢？

能選擇其他的底數(shù)嗎？

取對數(shù)后是ln（常用對數(shù)），計算器方便計算.也可以換成以10或2為底或者任意正實(shí)數(shù)為底，用Excel演示. ]

教師用Excel現(xiàn)場演示，將表1中的數(shù)據(jù)平方得表3.

將表1中的數(shù)據(jù)取以e為底的對數(shù)得表4.

畫散點(diǎn)圖添加趨勢線擬合二次函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為線性如圖2，擬合指數(shù)函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為線性如圖3（變量計算機(jī)默認(rèn)x）.

師：通過Excel演示，大家很清楚地看到將非線性轉(zhuǎn)化為線性的過程，指數(shù)函數(shù)模型的[R2]較大，擬合效果比二次函數(shù)模型好.我們還可以通過什么來比較呢？

生：殘差和殘差圖.

復(fù)習(xí)殘差計算公式和殘差圖的畫法，并用Excel演示.

學(xué)生通過殘差表5看出指數(shù)模型的殘差比二次函數(shù)模型的殘差小，圖5比圖4的殘差點(diǎn)落在水平帶狀區(qū)域較窄，因此說明指數(shù)函數(shù)模型擬合效果較好.

最后教師用Excel演示模型改進(jìn)過程，二次函數(shù)模型的改進(jìn)，Excel默認(rèn)擬合效果最好的如圖6，即增加一次項的模型.

指數(shù)函數(shù)模型的改進(jìn)可以變換底數(shù)以10為底，令[z=lgy]得表6，擬合結(jié)果如圖7.

也可以變換底數(shù)以2為底，令[z=log zy]得表7，擬合結(jié)果如圖8.

教師可進(jìn)一步延伸拓展，借助Excel添加趨勢線，擬合更高次函數(shù)，如三次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等模型，拓寬學(xué)生的視野，體會數(shù)學(xué)源于生活又高于生活，學(xué)以致用，有效預(yù)防紅鈴蟲，只要控制溫度在20 ℃以下，35 ℃以上.數(shù)學(xué)模型沒有最好，只有更好，逐步改進(jìn)模型，才能更好地為我們的生活服務(wù).

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 周迎春.從不同視角看高中數(shù)學(xué)“線性回歸分析”的兩個結(jié)論[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2019（4）：131-136.

[2]? 安國勝.探究數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)途徑[J].課程教育研究，2019（27）：129-130.

[3]? 李思聰，張仕橙.注重建模思維引領(lǐng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（18）：20-21.

[4]? 郝晶杰. 高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)調(diào)查研究[D].新鄉(xiāng)：河南科技學(xué)院，2019.

[5]? 鄭葉群.如何把高中數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)滲透于課堂教學(xué)[J].教育現(xiàn)代化，2019（23）：253-254.

[6]? 郭紅霞.高中數(shù)學(xué)課堂中落實(shí)核心素養(yǎng)的培育策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（5）：79-80.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）