建模方法在高中數學解題中的應用

吳玉進

【摘 要】高中數學涵蓋很多的模型。做好相關數學模型的講解，使學生把握建模方法在解題中的應用思路與技巧，對提升學生的解題能力與數學學習成績具有重要的現實意義。授課中有必要為學生系統的講解數學建模知識，匯總高中數學各種數學模型，展示不同模型在解題中的應用，指引學生更好地運用建模方法突破相關數學習題。

【關鍵詞】建模方法;高中數學;解題;應用

所謂建模方法是指從所學的數學模型中獲得啟發，基于數學模型規律與特點的把握，解答相關數學問題的一種方法。建模方法的應用不僅是高中數學教學的重要內容，而且相關習題在高考中多有出現，因此授課中應認識到建模方法的重要性，與學生一起探尋建模方法在不同數學習題中的應用，給其以后更為高效的解題帶來良好的啟發。

一、函數建模方法的應用

學生對函數模型并不陌生，在初中階段已經進行過學習，而在高中階段的函數模型類型更多，主要有二次函數模型、指數函數模型、對數函數模型、三角函數模型等。授課中應注重為學生講解函數建模方法，使學生更好地把握構建函數模型的相關細節，提高其建模的正確性。一方面，為學生深入的講解函數究竟描述了參數之間一種怎樣的關系，把握函數模型中的各個要素及其表示的含義，為函數建模方法的應用做好鋪墊。這就需要在教學過程中通過聯系學生生活、列舉具體的案例，使學生吃透函數概念的本質。另一方面，運用函數建模方法解答相關習題的關鍵在于尋找函數值與定義域之間的對應關系，而這一關系多體現在題干的描述中以及學生的生活經驗中。為使學生更好地理解這一點，可向學生展示如下習題的解答過程：

某個體戶準備銷售甲、乙兩種商品。研究發現當投資額x≥0（單位：萬元）時，銷售兩種商品獲得的利潤分別為f（x）萬元，g（x）萬元。其中f（x）=a（x-1）+2，g（x）=6ln（2x+b）（a>0，b>0）。若投資額為零時，銷售兩種商品的利潤均為零。如果該個體戶準備投入5萬元銷售這兩種商品，請你制定一個投資方案，使其能夠獲得最大利潤。

根據題意需要構建函數模型，建模的過程中需明確利潤、投入、成本之間的關系，才能更好的找到參數的函數關系。由投資額為零時，銷售兩種商品的利潤均為零，可知

二、數列建模方法的應用

高中數學主要講解了等差與等比兩種數列類型，兩種數列的特點較為明顯。其中等差數列的相鄰兩項的差是定值，而等比數列兩項之間的比值是定值。把握好兩個數列的這一特點就不能構建相關的模型。根據所學的數列知識可知運用數列建模方法解題時，應將重點放在求解出數列的首項以及公差或公比上。需要注意的是一些習題創設的情境較為抽象，比如銀行的復利問題。課堂上為使學生更好地應用數列建模方法突破該類問題，應注重為學生講解復利的計算方法，使學生更好地把握計算復利的特點。另外，解題的過程中還應引導學生積極聯系所學的數列求和知識、不等式知識等，以更好的求解某一參數的取值范圍。如下題：

針對年利率為r的連續復利，需在x年后達到本利和A。若現在的投資值為B=Ae-rx，e為自然對數的底數。如果項目P的投資年利率r=6%的連續復利。（1）若投資5萬元，寫出滿n年的本利和，并求滿10年的本利和;（2）若某家庭每年初一次性給項目P投資2萬元，則至少滿多少年基金共有本利和超過100萬元？

三、不等式建模方法的應用

學生很早就接觸了不等式知識，因此對不等式并不陌生。高中階段講解的不等式以基本不等式為重點。基本不等式在日常生活中有著廣泛的應用。為提高學生運用基本不等式知識解決實際問題的靈活性，應注重為學生講解不等式建模方法及其在解題中的應用。其中不等式建模方法應用的關鍵在于構建出與基本不等式相同的形式，解題時通過審題相關參數的關系，而后對相關參數進行合理的配湊，為應用基本不等式奠定基礎。另外解答不等式模型時，還應考慮定義域范圍，確保等號能夠取到，才能保證最終結果的正確性。如下題：

四、概率建模方法的應用

概率模型在人們的生產生活中有著廣泛的應用。運用高中階段的概率模型，能夠分析生活中的很多問題。教學中為提高學生運用概率模型解決問題的能力，應注重為學生系統的講解概率基礎知識，使其掌握不同概率模型的計算方法與計算思路，深刻的理解不同事件之間的區別與聯系，掌握不同事件概率的運算規律。同時為學生講解概率建模方法的應用思路，即，通過認真審題判斷事件類型，所屬的概率模型，運用所學的概率計算公式進行計算。另外針對與統計相關的知識，不僅要求學生深刻的理解相關概念，如期望、方差、標準差等，而且還應要求學生牢固記憶相關的計算公式，明確計算公式中各個參數表示的含義，避免在用的過程中張冠李戴。教學中為使學生體會概率建模方法的應用可向學生講解如下習題：

五、結束語

高中數學不同的模型有著不同的特點，建模方法也存在一定的差別。教學中可采用對比的方法與學生一起匯總、分析各個數學模型，總結各數學模型的特點以及建模時的關鍵環節，使學生掌握扎實的理論知識。同時為提高學生的學以致用能力，提升其運用建模方法解答數學習題的靈活性，教學中應做好相關習題的篩選與講解，并通過與學生互動，使其更好地把握不同建模方法應用的相關細節以及注意事項，使其在以后的應用中少走彎路，實現解題效率的進一步提升。

【參考文獻】

[1]王洋洋.“數學建模”在高中數學解題中的應用研究[J].數理化解題研究，2020（31）：72-73.

[2]曹彩霞.解析數學建模在高中數學解題中的應用[J].數理化解題研究，2020（28）：37-38.

[3]高琴.分析“數學建模”方式在高中數學解題教學中的應用[J].中學數學，2020（13）：33-34.

[4]王耀鵬.數學建模方法在高中數學解題中的探究[J].當代家庭教育，2019（28）：103.

[5]李錦標.淺議高中數學解題中的數學建模方法[J].試題與研究，2019（06）：137.

[6]林玉花.“數學建模”在高中數學解題中的應用[J].中學數學，2019（05）：49-50.