新課標下平行四邊形問題教學方略芻議

【摘 要】本文作者根據新課程改革綱要要求，對平行四邊形問題有效教學進行了簡要的闡述。

【關鍵詞】平行四邊形；問題解答

平行四邊形問題教學的有效實施，對學生學習能力、學習品質起到推動作用。同時，該章節在初中數學學科中占有重要地位。本人現就如何開展平行四邊形問題教學進行簡要論述。

一、凸顯平行四邊形知識內涵豐富性，實施多樣性解題

案例1：已知：如圖1所示，E，F分別是□ABCD的邊AD，BC的中點，

求證：AF=CE。．

證明：方法1：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且E，F分別是AD，BC的中點，∴AE = CF.又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，即AE∥CF．∴ 四邊形AFCE是平行四邊形．∴AF=CE．

方法2：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，且E，F分別是AD，BC的中點，

∴ BF=DE．

又 ∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D，AB=CD．∴△ABF≌△CDE．

∴ AF=CE．

評析：該問題的設計意圖是考查學生創新思維能力，在問題解答中，學生一是根據平行四邊形的性質進行證明，二是通過構建兩個全等的三角形，從而證得AF=CE這一結論。學生在這一證明過程中，通過運用知識點間的有效聯系，實現了學生思維創新能力的有效鍛煉和提升。

二、注重平行四邊形問題解答邏輯性，開展推理性解題

案例二：1、△ABC中，DE∥BC分別交AB，AC于D，E兩點，過點E作EF∥AB交BC于點F。請按圖示數據填空：

四邊形DBFE的面積S= ，△EFC的面積S1= ，△ADE的面積S2= ．

探究發現：（2）在（1）中，若BF=a，FC=b，DE與BC間的距離為h。請證明S2=4S1S2．

拓展遷移：

（3）如圖五，□DEFG的四個頂點在△ABC的三邊上，若△ADG、△DBE、△GFC的面積分別為2、5、3，試利用（2）中的結論求△ABC的面積．

解：（1）S=6，S1=9，S2=1．

（2）證明：∵DE∥BC，EF∥AB，

∴四邊形DBFE為平行四邊形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF．

∴△ADE∽△EFC．

∴=()2=．∵S1=bh， ∴S2=×S1=．

∴4S1S2=4×bh×=(ah)2．

而S=ah， ∴S2=4S1S2

（3）解：過點G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形。

∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH。

∵四邊形DEFG為平行四邊形，

∴DG=EF ∴BH=EF

∴BE=HF ∴△DBE≌△GHF

∴△GHC的面積為5+3=8。

由（2）得，□DBHG的面積為2=8。∴△ABC的面積為2+8+8=18。

點評：案例二通過設置半命題的證明過程形式，將思維過程進行有效地留取，給學生留下充足的思維活動空間，使學生根據提示性數學語言，找準問題解答思考分析的路數，從而獲得問題的有效證明，使學生在發散思維過程中實現知識內容的有效遷移。

三、發揮平行四邊形知識探究性特點，開展辨析探究解題活動

案例三：如圖4，已知平行四邊形ABCD及四邊形外一直線l，四個頂點A、B、C、D到直線l的距離分別為a、b、c、d。現將直線l向上平移，你得到的結論還一定成立嗎？請分情況寫出你的結論。

解析：證明：連結AC、BD，且AC、BD相交于點O，OO1為點O到直線L的距離，∴OO1為直角梯形BB1D1D的中位線.∴2OO1＝DD1＋BB1＝b+d；同理，2OO1＝AA1＋CC1＝a+c.∴a+c=b+d。

如果現在將直線l向上平移，得到的結論不一定成立。

分別有以下情況：

直線l過A點時，c=b+d；直線l過A點與B點之間時，c-a=b+d；直線l過B點時，c-a=d；

直線l過B點時與D點之間時，a-c=b-d；直線l過D點時，a-c=b；

直線l過C點與D點之間時，a-c=b+d；直線l過C點時，a=b+d；

直線l過C點上方時，a+c=b+d。

點評：本題考查了學生觀察、分析、判斷論證能力和探究創新能力，以“平行四邊形”、“線”為背景，將靜態的數學與動態的變化結合起來，在“動”中拓寬思維空間，在“靜”中找到解決問題的途徑，較好地培養了學生嚴謹思維習慣和縝密治學態度。

四、注重平行四邊形知識豐富性特點，開展綜合性問題解答

案例四：如圖，△ABC中，E，F分別是AB，BC邊的中點，M，N是AC的三等分點，EM，FN的延長線交于點D．求證：AB//CD．

分析：連接BD交AC于點O，連接BM，BN.

由AE=BE，AM=MN可得ED//BN；由BF=CF，MN=NC可得BM//FD。所以四邊形BMDN是平行四邊形。所以OB=OD，OM=ON。所以OA=OC。由此可得出四邊形ABCD是平行四邊形。所以AB//CD．

案例五：如圖，分別以△ABC的邊AB，AC為一邊在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M為FH的中點.求證：MA⊥BC．

分析：設MA的延長線交BC于點D，延長AM至點N，使MN=AM，連接FN，HN。則四邊形AHNF為平行四邊形。所以FN=AH=AC，∠AFN+∠FAH=180°。因為

∠BAC+∠FAH=180°，所以∠AFN=∠BAC.因為AF=AB，所以△AFN≌△BAC.所以∠1=∠2．

因為∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠ADB=90°。從而得出MA⊥BC。

點評：案例四和案例五分別是針對證明兩直線平行問題、兩直線垂直方面的問題，在解題時融入了遷移、分類等數學思想。通過教學實踐發現，學生在實際綜合性問題解答時要因題而異，抓住平行四邊形基本特征和性質，進行平行四邊形的構建，運用相關知識進行綜合問題的解答，實現學生遷移、分類以及化歸等數學思想素養形成，提高“用數學”能力水平。

（作者單位：江蘇省徐州市擷秀中學）