幾何直觀：讓數學教學“可視化”

祝元圓

[摘 要]幾何直觀能力是利用圖形描述、分析、解決問題的能力，能幫助學生直觀地理解數學，對學生數學素養的形成和發展有著重要作用。文章結合相關案例，從直觀感知、直觀理解、直觀推理三個方面入手，綜合探討了幾何直觀能力的培養策略。

[關鍵詞]幾何直觀;直觀感知;直觀理解

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）32-0010-02

幾何直觀是影響中小學生數學素養發展的重要因素之一，培養和發展學生的幾何直觀能力是數學課程“圖形與幾何”領域的核心目標之一。對小學生幾何直觀能力的培養，必須強調幾何直觀能力的重要性，利用直觀感知讓表象“立起來”，利用直觀理解讓道理“說得透”，利用直觀推理讓思維“看得見”，促進相關知識體系的整體建構以及學生遷移能力的培養，發展學生的創造性思維。

一、直觀感知，讓表象“立起來”

由于低年級學生尚處于較低層次的幾何直觀能力水平，他們一般是通過觀察圖片、實物、動作等來認識世界。因此“直觀”并不是簡單地看，而是要融入思考，在學生的認知中建立實物與概念之間的聯系，形成初步的空間觀念，讓表象真正地“立起來”。

1.借助結構化材料，豐富幾何表象

【案例】教學“平行四邊形的初步認識”時，可圍繞“創造平行四邊形”展開系列實驗，讓學生在小組內開展自主合作學習（給學生提供5種可選擇的結構性材料：兩塊完全一樣的三角尺、不同規格的小棒、釘子板和皮筋、長方形活動框架）。

其中，釘子板和皮筋是基于高觀點下的數學探究材料。在以往的教學中，教師只要看到學生能夠用皮筋在釘子板上圍出大小不同的平行四邊形就結束了，但學生的思維是不可限量的，于是就有了“在已有平行四邊形的基礎上如何讓這個平行四邊形變得更大”的實驗操作。學生的想法非常多，他們有的橫著拉皮筋，有的豎著拉皮筋，還有的橫著、豎著同時拉皮筋。在拉動皮筋的過程中，滲透了平行四邊形的大小其實與“底”“高”這兩個因素有關。

雖然是初步感知平行四邊形，但是可以在動手實驗的過程中挖掘知識的生長點。結構化的學具使得學生對于圖形的本質有更進一步的理解，同時也為后續的幾何學習奠定了基礎，讓學習真正發生。

2.夯實基礎，初步建立空間觀念

識圖是幾何直觀學習中不可忽視的環節，它能夠幫助學生將生活實物與幾何圖形相對應，幫助學生發現示意圖中或顯現，或隱藏的數學信息，實現現實原型、幾何圖形與幾何特征之間的相互轉換，有助于學生空間觀念的建立。

【案例】學習“平行四邊形的初步認識”后，學生看到伸縮門就聯想到平行四邊形，進而聯想到平行四邊形“易變性”的特征，以及平行四邊形和長方形是可以相互轉化的。反過來，到了高年級學習面積時，學生就能用已有的直觀感知解決相關問題。

因此，在低年級的直觀教學中，教師可以通過呈現多樣的圖形變化或組合，建立圖形與圖形之間、圖形與實物之間、圖形與概念之間的聯系，引導學生在圖形中高效捕捉信息，逐漸培養學生讀圖后全方位處理信息的識圖能力。

二、直觀理解，讓道理“說得透”

有的學生覺得數學難學其實就是數學概念越來越抽象，而幾何直觀能力在數學學習中具有“化虛為實”的魅力，即用“形”支撐對知識本質的理解：利用直觀圖描述、分析并解決問題，幫助學生直觀地理解數學，形成和發展數學素養。

1.深化直觀體驗，追溯概念本質

教學“商不變的規律”時，在通過列表計算發現并總結出商不變的規律后，有學生提出“為什么商不變”時，大家陷入了沉思，很多學生嘗試說理時卻詞不達意，但有了“小棒”這一直觀載體，商不變的本質就明晰而簡單了。

【案例】以“20÷5=4”為基礎式，每次變化的是總數與每份的個數，而份數一直不變。這樣學生就借助實實在在的小棒理解了抽象的規律。把所有小棒匯集到一起可以發現，這里的每一根小棒都可以看作1個二、1個五、1個十、1個百……（如圖1至圖3）只是賦予的單位不同，而份數不曾改變，這又從具體的小棒上升到了抽象的“單位1”概念。

在此基礎上，學生在有余數的除法中借助幾何直觀圖（如圖4）就自然而然地想明白了為什么余數是與被除數、除數同時變化的，“余數的變化”這個易錯點也就得到了化解。

2.鼓勵直觀操作，推動知識遷移

動手操作往往因實施難度較高或教學進度緊湊而被教師有意無意地忽視，這種情況理應得到改變。因為直觀體驗來源于生活，離不開實踐，所以實踐可以說是培養幾何直觀能力的主要途徑。

【案例】王茜老師執教“乘法分配律”一課，在驗證（6+4）×3與6×3+4×3這兩個式子為什么相等時，她讓學生選擇不同的學習材料進行充分的探索與驗證。有的學生通過計算結果發現兩式相等;有的學生結合課本例題賦予算式現實意義;有的學生通過將一張長6 cm、寬3 cm的長方形紙和一張長4 cm、寬3 cm的長方形紙拼在一起，從面積的角度理解算式，依托具體的圖形建立相應的模型;有的學生從乘法意義上闡釋了乘法分配律的本質。

在大問題的驅動下，學生的思維在自由空間中發散，他們將所學知識應用于問題的解決，將組合圖形面積計算遷移到對運算律的理解中，體驗利用幾何直觀使得問題簡化的感覺，感受到幾何直觀的價值所在。此外，學生的邏輯思維能力、解決問題能力得到發展，數學核心素養逐步提升。

三、直觀推理，讓思維“看得見”

現代課堂教學越來越強調提升學生的思維能力，倡導學生獲得知識的同時，也要發展思維能力、創新能力。教師可以根據學生對圖形的整體把握情況，引導學生依據具體直觀事物進行想象，在推理中實現思維的連續性和可視化。

1.拓展延伸，以想象促進“再生成”

【案例】在數學實驗課“平行四邊形的初步認識”的“我想象”環節，筆者先出示3個神秘的信封（里面分別裝著一個圖形;圖形露出一部分;圖形露出的部分形狀相同），再提問：“猜猜看，是什么圖形？”

學生在之前的實際操作中已經充分認識平行四邊形的特征，于是想象的觸角不斷向外延伸，他們說出了多種可能，并且說得有理有據。學生在想象、說理、分析、爭辯的過程中，對圖形本質的認識不斷深入，幾何直觀、空間想象等能力進一步得到提升。此外，這個環節不僅勾連了前一課“多邊形的認識”，而且向后延伸，例如“梯形的認識”“多邊形的大小”等，這樣的環節有想象、有推理，還有前后知識的貫通，從局部到整體，學生的思維與能力不斷地得以提升。

2.著眼整體，構建直觀的知識體系

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。”因此，課堂教學不能只是紙上談兵，教師不要就知識講知識，而是要往前一步走，讓學生能夠在小學階段乃至整個數學學習過程中，逐步構建直觀的數學知識體系。

【案例】周衛東老師執教“確定位置”時，以“小鴨在哪里”為線索貫穿整節課。由一開始學生結合生活實際自由表示小鴨的位置，到發現僅用一條線不能準確標示位置，因而根據需要自然地引出“縱軸”。這時，學生的認知已經突破了具體簡單的“第幾行、第幾列”的數對知識，上升到抽象的“平面直角坐標系”。尤其最后以“小鴨跳入水中”將學生思維帶入三維空間中，此時的“平面直角坐標系”已然不能滿足位置的確定，為后續的三維學習奠定了基礎。

整節課讓人回味無窮的不僅是趣味橫生的故事情節，還有對直觀知識體系的構建。一節課就將點、面、體三個維度聯系起來，自然過渡，毫無“生拉硬拽”之象，拓展了幾何直觀的時空，便于學生對知識的整體把握，以及遷移能力、解決問題能力的發展。此外，學生以幾何直觀圖示為依托進行了自主的推理與探索，通過他們的表述、反思、修正，可以看出他們的思維逐漸嚴謹。周衛東老師順應兒童的生長之勢，將抽象的思維方式借助幾何圖形形象化，實現方法的優化和思維的深化，學生也切身體會到在生活中確定位置的關鍵點，這是彌足珍貴的。

總的來說，幾何直觀能力的培養是小學數學教學中一項非常重要的內容。教師只有在培養學生幾何直觀能力的同時，有效地提升學生的邏輯思維能力，才能真正發展學生的數感、空間觀念以及數學應用意識等核心素養。

（責編 金 鈴）