賞析一道新高考?jí)狠S題及其解法

廖永福　林永志

摘要：2020年，山東、海南率先使用以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的新高考全國(guó)卷，2021年，江蘇、湖北、福建等8個(gè)省市也將加入其中.本文試圖通過對(duì)一道新高考數(shù)學(xué)壓軸題的研究，從一個(gè)側(cè)面了解新高考的命題趨勢(shì)，推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)在教學(xué)中的落實(shí)，助力高中育人方式的改革.

關(guān)鍵詞：新高考;導(dǎo)向;壓軸題;解法

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2021）28-0040-02

這是2020年山東省新高考數(shù)學(xué)填空壓軸題，也是一道立體幾何中的軌跡問題.題目簡(jiǎn)短無圖，中規(guī)中矩，但包含的信息量較大，考查的知識(shí)點(diǎn)較多.平淡中還暗藏玄機(jī)，有一定的難度，屬中檔題.

本題考查直棱柱的結(jié)構(gòu)特征、直線與平面垂直的判定和性質(zhì)、扇形的弧長(zhǎng)公式;考查作圖和計(jì)算能力、推理論證和空間想象能力;考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等.

解答此題除了必要的知識(shí)儲(chǔ)備外，正確作圖、準(zhǔn)確理解題意也是重要的一環(huán)，有些考生把球面與側(cè)面BCCB的交線誤解成球面與平面BCCB的交線，結(jié)果前功盡棄.下面給出這道題的四種解法，希望能夠起到拋磚引玉的作用.

解法一利用圓的定義解題

解法二緊扣球的截面的性質(zhì)，首先明確球面與平面BCCB的交線是球的小圓，小圓圓心是球心D在平面BCC1B1內(nèi)的射影，即棱BC的中點(diǎn)E，根據(jù)小圓半徑、球半徑以及面心距之間的關(guān)系，求出小圓半徑，進(jìn)而解決問題. 此法大道至簡(jiǎn)、大巧若拙，是最本質(zhì)的一種解法.

解法三通過建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)球面與平面BCCB交線上的點(diǎn)所應(yīng)滿足的等量關(guān)系，求出交線的方程，進(jìn)而解決問題，這是幾何問題代數(shù)化常用的一種方法.

解法四巧妙地引進(jìn)向量，利用向量模的性質(zhì)得到球面與平面BCCB交線的方程，此法算是博采了代數(shù)和幾何的精華，過程簡(jiǎn)潔明了、曲徑通幽.

上述四種解法各有千秋，又聯(lián)系緊密，它們都是解決立體幾何軌跡問題的常用方法.可以看出，解答這類問題的關(guān)鍵是要善于把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何、解析幾何以及空間向量等知識(shí)求解.

參考文獻(xiàn)：

[1]黃曉琳.一道高考?jí)狠S題的分析與反思[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2020（2）：42-45.

[2]方炫蘇.立體幾何中的軌跡問題[J].數(shù)理化解題研究，2016（28）：19-20.

[責(zé)任編輯：李璟]

作者簡(jiǎn)介：廖永福（1962-），男，福建省仙游人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.