壓軸題進階解析及拓展

摘要：壓軸題往往都有一定的難度，命題者的一般思路是：入題簡單，深入較難，做完整更難.如何解決壓軸題呢？作者將采用一問一答的形式，從最簡單的問題入手，步步推進，進階式解析，達到最終全部解決整個試題的目的，這樣既降低了難度，又思路清晰，甚至還可拓展其他的考點，在復習時可達事半功倍的效果.

關鍵詞：壓軸題;進階;解析;拓展

中圖分類號：G632文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2021）28-0102-02

作者簡介：楊天才（1975-），男，本科，中學正高級教師，從事高中物理教學研究.

壓軸題某校舉行托乒乓球跑步比賽，賽道為水平直道，比賽距離為x.比賽時，某同學將球置于球拍中心，以大小為a的加速度從靜止開始做勻加速直線運動，當速度達到v時，再以v做勻速直線運動跑至終點，整個過程中球一直

保持在球拍中心不動.比賽中，該同學在勻速直線運動階段保持球拍的傾角為θ，如圖1所示.設球在運動中受到空氣阻力大小與其速度大小成正比，方向與運動方向相反，不計球與球拍之間的摩擦，球的質量為m，重力加速度為g.求：

（1）空氣阻力大小與球速大小的比例系數k;

（2）在加速跑階段球拍傾角θ隨速度v變化的關系式;

（3）整個勻速跑階段，若該同學速度仍為v，而球拍的傾角比θ大了β并保持不變，不計球在球拍上的移動引起的空氣阻力變化，為保證到達終點前球不從球拍上距離中心為r的下邊沿掉落，求β應滿足的條件.

解題思路剖析問題（1）：（您在生活中觀察到或參與過此項比賽嗎？）分析乒乓球在過程中（1）（2）問的運動情況，你能畫出它做直線運動的大致v-t圖像嗎？

解析乒乓球先做勻加速直線運動，然后做勻速直線運動，其v-t圖像如圖2所示;

問題（2）：“球在運動中受到空氣阻力大小與其速度大小成正比”意味著什么？

解析f=kv，比例系數k不變.

問題（3）：“不計球與球拍之間的摩擦”意味著什么？請作出乒乓球做勻速直線運動的受力分析圖.

解析不計球與球拍之間的摩擦意味著乒乓球在勻速直線運動階段只受三個力的作用，受力分析如圖3所示.

問題（4）：求空氣阻力大小與球速大小的比例系數k為多少？

解析根據（3）的受力分析，正交分解后由力的平衡條件列方程得：

N0sinθ0-f0=0N0cosθ0-mg=0f0=kv0

聯立解得：k=mgtanθ0v0①

問題（5）：乒乓球勻加速運動階段受力分析又怎樣？求球拍傾角θ的正切隨速度v變化的關系式？

解析受力分析如圖4所示，正交分解，由牛頓第二定律列方程得：

問題（6）：在球拍勻加速直線運動階段，球拍的傾角如何變化才能保持乒乓球與球拍相對靜止？

解析由方程②可知，傾角θ應逐漸增大;

問題（7）：如果某同學在勻速直線運動階段未控制好球拍的傾角為θ，而是θ+β并保持不變，乒乓球還能相對球拍靜止嗎？乒乓球相對球拍（以球拍為參考系）做什么運動？乒乓球的運動形式怎樣分解？

解析不能相對球拍靜止，乒乓球相對球拍做勻加速直線運動，乒乓球實際做的是勻變速曲線運動，可分解為水平方向的勻速直線運動和沿球拍斜向下的勻加速直線運動;

問題（8）：問題（7）與問題（3）相比，乒乓球所受的三個力發生了哪些變化？

解析乒乓球的重力、空氣阻力（不計球在球

拍上的移動引起的空氣阻力變化）均未發生變化，球拍的支持力大小和方向都發生了變化，如圖5所示;

問題（9）：如何求解乒乓球在沿球拍方向運動的加速度？

解析乒乓球勻速直線運動階段，空氣阻力與重力的合力不變，大小為F=mgcosθ0，如圖6所示，且有F在球拍方向的分力產生的加速度為a′，

問題（16）：實際競賽過程中，乒乓球與球拍的摩擦力較小可忽略，但球在球拍上的移動引起的空氣阻力變化不可忽略，分析球拍勻速運動階段球相對球拍的運動形式？實際的值β比理論值大還是??？

解析在乒乓球相對球拍向下運動過程中，空氣阻力逐漸增大，球做加速度減小的加速運動，由a′=gsin/cosθ可知β比理論值小;

問題（17）：若乒乓球在球拍上相對運動時所受阻力仍滿足f=kv，球拍中心與下邊沿的距離r足夠大，求乒乓球相對球拍運動的最大速度？

解析由a′=gsin/cosθ0-kv/m知，當a′=0時，速度達最大，且為vm=v0sin/sinθ0⑩

點評這是一道與學生生活實際聯系緊密的好題，它緊扣《課程標準》中強調的：“從學生已有的生活經驗出發， 讓學生親身經歷將實際問題抽象成物理模型并進行解釋與應用的過程”.既有利于高校選拔人才的同時，還有利于課程改革的縱深推進，對推進素質教育起到很好的導向作用.

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心.普通高中教科書·物理[M].北京：人民教育出版社，2019（6）.

[責任編輯：李璟]