巧轉化妙思想

摘要：本文主要研究了一道三元最值題的解題方法，通過不等式的放縮，借助不同的工具，巧妙的借助數學思想來指導：熟練利用整體思想、減元思想、齊次思想、二次函數思想以及轉化思想等，采取了不同的方法進行處理，進而得以突破問題的瓶頸.

關鍵詞：三元;最小值;整體;減元;齊次;二次函數;轉化

中圖分類號：G632文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2021）28-0044-02

在近年的高考題與模擬題中，經常會碰到求解雙變元或多變元的代數式的最值或取值范圍問題.此類問題往往難度較大，思維方式多變，方法有時也多樣.著名數學家、教育學家G·波利亞在《怎樣解題》一書中指出：“好題目和某種蘑菇有點相似之處：它們都是成串成長，找到一個以后，我們應該看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”而當我們解完一道題以后，要不斷領悟反思，多角度切入進行深度挖掘，從而達到觸類旁通、一題多解的效果.下面結合結合一道三變元最值題來加以實例剖析，結合多維角度切入，達到殊途同歸.

分析涉及已知關系式下的三變元代數式的最值題，一個基本的思維方向就是通過已知關系式加以轉化，利用基本不等式等方式加以處理與轉化，其中離不開基本不等式、不等式的性質的應用與綜合.而如何進行不等式的放縮，可以借助不同的工具，巧妙利用數學思想來指導：整體思想、減元思想、齊次思想、二次函數思想以及轉化思想等，采取不同的方法來處理，進而得以突破.

思想指導2（減元思想）利用基本不等式可得1-z=x+y≥2xy，進而通過三元代數式的減元思維，把代數式轉化為含有參數z的關系式，利用相應的基本不等式來確定三元代數式的最值問題.

思想指導3（齊次思想）結合x+y+z=1，通過分子中“1”的轉化，利用二次式的展開，轉化為相應的齊次式，并利用齊次式的應用，結合多次應用基本不等式來放縮，進而得以確定三元代數式的最值問題.

思想指導4（二次函數思想）結合基本不等式的轉化2xy≤x+y，并利用z=1-（x+y），把相應的代數式轉化為含有x+y的二次函數問題，利用二次函數的圖象與性質來巧妙確定三元代數式的最值問題.

當我們解完一道題以后，要不斷領悟反思，多角度切入進行深度挖掘，從而達到觸類旁通、一題多解的效果.通過從多個不同角度來處理，巧妙把該題的底蘊充分挖掘出來，多角度出發，多方面求解，真正體現對數學知識的融會貫通，充分展現知識的交匯與綜合，達到提升能力，拓展應用的目的.進而真正達到在學中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數學家蘇步青先生說過：“學習數學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”

參考文獻：

[1]韓景崗，陳國林.巧用柯西不等式 妙解兩類最值題[J].高中數學教與學，2018（1）：18-19.

[責任編輯：李璟]

作者簡介：田峰（1986-），男，安徽省池州人，本科，從事高中數學教學研究.