構(gòu)建深度課堂 提升數(shù)學能力

呂琴

【摘 要】本文以《直線與圓的位置關(guān)系（4）》為例，探索深度學習理念下深度課堂的構(gòu)建。深度課堂體現(xiàn)在知識理解深刻、對話交流深入、情感體驗貼切、學科能力生長等多個維度。構(gòu)建深度數(shù)學課堂，促進學生深度學習，激發(fā)學生學習熱情，鍛煉學生思維能力，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】深度課堂;數(shù)學能力;核心素養(yǎng)

一、教學目標

1.知識目標：了解切線長的定義，掌握切線長定理，并利用它進行有關(guān)的計算;在運用切線長定理的解題過程中，進一步滲透方程的思想，熟悉用代數(shù)的方法解幾何題。

2.能力目標：經(jīng)歷畫圖、度量、猜想、證明等數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，培養(yǎng)學生有條理地、清晰地闡述自己的觀點的能力。

3.素質(zhì)目標：初步學會從數(shù)學的角度提出問題、理解問題，并能運用所學的知識和技能解決問題，發(fā)展應用意識。在解題中形成解決問題的基本策略，體驗問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力與創(chuàng)新精神。

4.情感與態(tài)度目標：了解數(shù)學的價值，對數(shù)學有好奇心與求知欲，在數(shù)學學習活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。

二、教學重點及難點

教學重點：理解切線長定理

教學難點：應用切線長定理解決問題

三、教學方法

教學方法采用引導發(fā)現(xiàn)法，輔之以討論法。本節(jié)課是概念、定理、解題的教學，因此，要利用概念模式元、定理教學模式元、解題教學模式元的有機組合，完成本節(jié)課的教學。

四、教學過程

1.操作

經(jīng)過⊙O外一點P畫⊙O的切線，并思考過圓外一點可以畫圓的幾條切線？

【設計意圖】學生經(jīng)歷操作觀察的過程，可以直觀了解過圓外一點可以畫圓的兩條切線，也為引入“切線長”和“切線長定理”做好鋪墊。教學時學生先嘗試，然后老師再進行示范。

概念：在經(jīng)過圓外一點的切線上，這一點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。

根據(jù)概念，解決下面兩個問題：

（1）如圖，PA和PB分別與⊙O相切于點A、B，點P到⊙O的切線長可以用哪一條線段的長來表示？（線段PA或線段PB）

（2）切線與切線長的區(qū)別是什么？

（切線是一條與圓相切的直線;切線長是指切線上某一點與切點間的線段的長。）

【設計意圖】此處通過學生思考得出結(jié)論，再次加深學生對概念的理解，也使學生了解切線長與切線的關(guān)系。教學時教師在板書定義之后，通過對話交往，引導學生把對概念的感性認識上升到理性認識，然后在圖形中進行識別，從而認識概念的本質(zhì)特征，理解概念的外延。在對話中，教師以民主的精神、平等的作風、寬容的態(tài)度、真摯的愛心和悅納的情懷對待學生，在相互傾聽、接受和共享中獲得知識，使教學相長。同時由這個結(jié)論教師適時引出探索。

2.探索

（1）度量線段PA和PB的長度;

（2）猜想：線段PA和PB之間的關(guān)系;

（3）尋找證明猜想的途徑;

（4）還能得出哪些結(jié)論？并把它們歸類。

【設計意圖】定理教學的方式是學生自主探索，相互交流相結(jié)合。首先出示探索步驟的前2個，等學生猜想出結(jié)論后，再明確僅憑觀察、度量、猜想并不能說明結(jié)論的正確性，還需證明結(jié)論的正確性，同時激勵學生尋找證明猜想的途徑。之后，再讓學生探索更多的結(jié)論。隨著一環(huán)緊扣一環(huán)的探索問題的深入，學生通過自主地發(fā)現(xiàn)問題、信息搜集與處理、表達與交流等探索活動，深度學習深度思考，獲得知識、技能，以及積極的、深層次的體驗，從而促進學生探究能力的發(fā)展。

（5）運用圖形運動的方法證實結(jié)論。

【設計意圖】在圓的許多重要性質(zhì)中，圓的對稱性（軸對稱、中心對稱及旋轉(zhuǎn)不變性）是最基本的性質(zhì)，這里運用圖形運動的方法對“切線長定理”進行證實，強化學生對圓的對稱性的認識。

3.歸納

線段相等：PA=PB;? ? ?OA=OB;

角相等：∠APO=∠BPO;? ∠AOP=∠BOP;

垂直關(guān)系：OA⊥PA;? ? OB⊥PB;

三角形全等：△OAP≌△OBP。

【設計意圖】培養(yǎng)學生總結(jié)歸納概括能力及表達能力，把知識納入系統(tǒng)，便于學生存儲、提取和應用。

定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等。

切線長定理為證明線段相等提供了新的方法。

你會寫出定理的符號語言嗎？

數(shù)學符號語言：∵PA、PB分別是⊙O的切線，點A、B分別為切點，∴PA=PB，

【設計意圖】數(shù)學符號語言能使定理的本質(zhì)含義變得更清晰更直觀，課堂上注重數(shù)學符號語言的教學，有助于培養(yǎng)和提高學生的數(shù)學符號意義獲得能力。

4.鞏固

（1）如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B，過劣弧AB上一點C作⊙O的切線分別交PA、PB于點M、N，寫出圖中所有相等的線段? ? 。

若PA=12cm，則△PMN的周長等于? cm。

（2）已知如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，PO與⊙O相交于點D，且PA=4cm，PD=2cm。求半徑OA的長。

（3）如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB、AC分別與小圓相切于點D、E。AB與AC相等嗎？為什么？

【設計意圖】及時鞏固所學知識，利用定理進行有關(guān)的計算和證明。在第（2）題中進一步滲透方程思想，熟悉用代數(shù)的方法解決幾何題。

5.小結(jié)

（1）通過本節(jié)課的實踐、探索、交流，你有哪些收獲？

【設計意圖】課堂小結(jié)有利于學生掌握本節(jié)的重點內(nèi)容，培養(yǎng)學生總結(jié)歸納的能力和語言表達能力。

（2）連結(jié)兩個切點AB交OP于點C，又能得出什么結(jié)論？

【設計意圖】在課堂探索結(jié)束之時，鼓勵學生繼續(xù)進行課后探索。以“課雖盡，思不止”之效，誘發(fā)學生深入探究的積極性，引起學生課后的回味和思索，并深化課堂教學內(nèi)容。

【參考文獻】

[1]鞠文燦.追求“深度學習”的課堂時間樣本[J].江蘇教育研究，263期

[2]劉瑞紅.基于深度學習發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的教學探索[J].求學，2019（4），14-17

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