聚焦核心素養 突出關鍵能力
——2021年新高考數學Ⅱ卷評析

湖北省襄陽市第一中學 (441000) 葉德鳳 王 勇

2021年新高考數學Ⅱ卷落實《課程標準》的理念，穩中求新，聚焦核心素養，突出關鍵能力的考查，體現了高考數學的科學選拔功能和育人導向作用.試題突出數學本質，重視理性思維，堅持素養導向、能力為重的命題原則，科學把握數學題型的開放性與數學思維的開放性，全面體現了基礎性、綜合性、應用性和創新性的考查要求.

試卷有利于科學選拔人才，有利于深化課程改革，有利于促進社會公平，對培養考生的創新精神、實踐能力，落實“五育”并舉，提升考生核心素養有積極的導向作用.

一、對單項選擇題的評析

其中第4題、第8題有一定的難度，下面分別解析，供研讀.

例1 (第4題)北斗三號全球衛星導航系統是我國航天事業的重要成果.如圖1，在衛星導航系統中，地球靜止同步軌道衛星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km(軌道高度是指衛星到地球表面的最短距離)，把地球看成一個球心為O，半徑r為6400km的球，其上點A的緯度是指OA與赤道所在平面所成角的度數，地球表面能直接觀測到的一顆地球靜止同步軌道衛星的點的緯度的最大值記為α，該衛星信號覆蓋的地球表面面積為S=2πr2(1-cosα)(單位km2)，則S占地球表面積的百分比約為( ).

圖1

A.26%B.34%C.42%D.50%

圖2

點評：本題以北斗三號全球衛星導航系統為背景，考查解三角形在實際生活中的應用，引導考生關注我國科技進步與發展，增強民族自豪感與自信心.

例2 (第8題)設函數f(x)的定義域為R，且f(x+2)為偶函數，f(2x+1)為奇函數，則( ).

C.f(2)=0 D.f(4)=0

解析：因為f(x+2)為偶函數，所以f(-x+2)=f(x+2)，所以函數f(x)的圖象關于直線x=2對稱，所以f(x)=f(4-x).因為f(2x+1)為奇函數，所以f(-2x+1)=-f(2x+1)，則f(1)=0，且函數f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，所以f(-1)=-f(3)=-f(1)，故選B.

點評：本題考查函數的奇偶性、對稱性及周期性，求函數值等.考查的關鍵能力是邏輯思維能力、運算求解能力.考查的學科素養是理性思維、數學應用、數學探索.

二、對多項選擇題的評析

考查目標第9題考查樣本的數字特征第10題考查空間中直線與直線的位置關系第11題考查點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系第12題考查對新定義的理解及活用

其中第12題值得認真研讀和品味.

例3 (第12題)設正整數n=a0·20+a1·21+a2·22+…+ak-1·2k-1+ak·2k，其中ai∈{0,1}(i=0,1,2,…,k)，記ω(n)=a0+a1+…+ak，則( ).

A.ω(2n)=ω(n) B.ω(2n+3)=ω(n)+1

C.ω(8n+5)=ω(4n+3) D.ω(2n-1)=n

點評：本題是一道信息遷移題，考查考生的閱讀理解能力及創新意識.抓住ω(n)表示n的二進制數各位上的數字和是求解問題的關鍵，對于B選項通過特例法作出判斷簡化了解題過程.

三、對填空題的評析

考查目標第13題考查雙曲線的幾何性質第14題考查函數的奇偶性和單調性、函數的導數的應用第15題考查平面向量的模與數量積運算第16題考查導數的幾何意義、函數的圖象及目標式取值范圍的界定等

其中第14題、第16題頗有研討價值，下面分別詳解，供研討.

例4 (第14題)寫出一個同時具有下列性質①②③的函數f(x)=.

①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②當x∈(0,+∞)時，f′(x)>0；③f′(x)是奇函數.

解析：由②和③可知f(x)=x2符合要求，又f(x)=x2滿足f(x1x2)=f(x1)f(x2)，即具有性質①，故f(x)=x2滿足題意.(本題答案不唯一，符合題意即可)

點評：本題是一道開放性試題，答案不唯一，求解方法多樣化，有利于考查考生思維的靈活性和發散性.本題是開放性填空題，是新高考題型改革創新的新動向.

解析：作出函數f(x)=|ex-1|的圖象如圖3所示，由題意知兩條切線的斜率存在且不為零.

圖3

當x∈(-∞,0)時，

f(x)=1-ex，f′(x)=-ex，在點A(x1,f(x1))處的切線斜率k1=f′(x1)=-ex1；當x∈(0,+∞)時，

f(x)=ex-1，f′(x)=ex，在點B(x2,f(x2))處的切線斜率k2=f′(x2)=ex2.因為兩條切線互相垂直，所以k1k2=-1，即(-ex1)ex2=-1，即ex1+x2=1，所以x1+x2=0.在點A(x1,1-ex1)處的切線方程為

四、對解答題的評析

1.數列題——中規中矩送大禮

本題考查等差數列的通項公式與前n項和公式，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數學運算核心素養.第(1)問利用已知條件及等差數列的通項公式和前n項和公式求解出a1和d的值，即可求解；第(2)問在第(1)問的基礎上求出等差數列的前n項和Sn，再將Sn>an進行轉化，解不等式即可得解.本題與學生平時的訓練題極為相似，絕大多數考生當笑納“大禮”.

2.三角題——平平淡淡考功底

本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，考查運算求解能力，考查劃歸與轉化思想.第(1)問利用正弦定理求出a,b,c的值，結合余弦定理及三角形的面積公式即可求解；第(2)問根據已知條件得要存在滿足條件的正整數a，則角C為鈍角，利用余弦定理及三角形的三邊關系即可得解.

3.立體幾何題——難易適中合情理

本題考查面面垂直的證明及二面角余弦值的求解，考查空間想象能力、運算求解能力.第(1)問由等腰三角形的性質結合勾股定理的逆定理證明線面垂直，再由面面垂直的判定定理即可得證；第(2)問以E為坐標原點建立適當的空間直角坐標系，分別求出平面BQD與平面DQA的一個法向量，利用空間向量的夾角公式即可得解.

4.解析幾何題——精打細算求真理

本題考查橢圓方程、橢圓的幾何性質、直線與圓、橢圓的位置關系等，考查運算求解能力、推理論證能力、化歸與轉化思想.第(1)問非常簡單，近乎“送分”；第(2)問運算量較大，細節問題要考慮周全，有一定的難度，具有較好的區分和選拔功能.

5.概率統計題——想說愛你不容易

本題考查數學期望、利用導數研究函數的單調性與極值、零點存在性定理等，考查閱讀理解能力、數據處理能力、推理論證能力，考查的學科素養是理性思維、數學探索.第(1)問比較簡單，絕大多數考生志在必得；第(2)問難度較大，考查導數知識的靈活應用；第(3)問在第(2)問的基礎上，只有真正領悟了問題的實質方可圓滿解答.

例7 (第21題)一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代，…，該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，P(X=i)=pi>0(i=0,1,2,3).

(1)已知p0=0.4，p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1，求E(X)；(2)設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根，求證：當E(X)≤1時，p=1，當E(X)>1時，p<1；(3)根據你的理解說明第(2)問結論的實際含義.

解題思路：(1)由數學期望公式即可求解；(2)對方程變形，構造函數，并對其求導(二次求導)，分E(X)≤1和E(X)>1兩種情況討論即可得證；(3)根據第(2)問中的結論結合理性分析即可獲得其實際含義.

6.函數與導數題——結構不良添新意

本題考查利用導數研究函數的單調性和極值、函數的零點，考查運算求解能力、推理論證能力.第(1)問多數考生可順利求解；第(2)問是一道結構不良問題，對考生的邏輯推理、數學抽象、直觀想象等素養有較深入的考查，體現了素養導向、能力為重的命題原則.

注：如果選擇兩個條件分別解答，那么按第一個解答計分.

解題思路：(1)f(x)→f′(x)

總之，2021年新高考數學Ⅱ卷試題閃耀著理性思維的光芒，以問題情境設置為載體，考查核心價值和能力素養.試題聚焦學科主干知識，突出學科關鍵能力，關注社會生活和實踐應用，很好地體現了“一核四層四翼”的考查要求，很好地把握了穩定、改革與創新之間的關系，彰顯了立德樹人價值引領與核心素養育人導向.