例析利用導數求解三角問題

廣東省梅州市虎山中學 (514299) 張偉榮 江中偉

本文在導數視角下研究三角函數的單調性、奇偶性、對稱性、最值問題、含參問題或相關綜合性問題的求解策略.

一、利用導數研究三角函數的單調性問題

例1 (2018年全國高考數學Ⅱ卷第10題)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]上是減函數，則實數a的最大值是( ).

反思總結：由導數與函數單調性的關系可知，若函數f(x)在(a,b)上單調遞增，則f′(x)≥0；若函數f(x)在(a,b)上單調遞減，則f′(x) ≤0.當涉及到含參數的三角函數在某個區間上單調求參數的取值范圍時，可求導后采用分離參數的方法.

二、利用導數研究三角函數的奇偶性問題

例4 若函數f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ) (0<θ<π)是奇函數，則實數θ=.

三、利用導數研究三角函數的對稱性問題

反思總結：利用可導函數在極值點(最值點)處的導數為零求解.

四、利用導數研究三角函數的最值(極值)問題

例7 (2013年全國卷理科第12題改編)已知函數f(x)=cosxsin2x,求f(x)的最大值.

反思總結：通過三角恒等變形后換元，構造一個新函數(注意變量的取值范圍)，求導，判斷單調性，求最值(極值).

五、利用導數研究三角函數的零點問題

(1)求函數f(x)與g(x)的解析式;

分析：(1)由已知條件易得f(x)=cos2x，g(x)=sinx(過程略).

反思總結：這道題充分體現了利用導數研究三角函數零點的優越性，第二問主要考查了等差數列、函數零點存在定理、導數和不等式等基礎知識，體現了對數學抽象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養的考查.