一道橢圓最值問題的解法探究

江蘇省蘇州市第四中學(xué) (215000) 甄 艷

圓錐曲線是高考數(shù)學(xué)核心考點之一，而最值問題是熱點題型之一，最值問題主要考查直線與橢圓的相交關(guān)系和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，這類問題對考生的運算求解能力、推理論證能力和綜合思維能力要求較高.以下對一道橢圓有關(guān)的最值問題進(jìn)行多解探究.

(2)思路1：設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，由弦長公式表示|MN|，再由點到直線距離公式表示點A到直線的距離，用k表示出△AMN的面積，對k分類討論，最終由基本不等式和不等式性質(zhì)可求出△AMN面積的最大值.

當(dāng)k>0時，S△AMN<4，當(dāng)k<0時，S△AMN=

思路3：設(shè)出點M的坐標(biāo)，利用已知條件表示出點N的坐標(biāo)，利用解法2中提到的三角形面積公式表示出△AMN的面積，再利用點M在橢圓上實現(xiàn)整體代換，利用均值不等式a2+b2≥-2ab和不等式性質(zhì)可求出△AMN的面積的最大值.

評析：解法1運用了分類思想，運算量比較大，如果考生的運算和推理能力不強(qiáng)，很難得出最終結(jié)果，解法2運用了參數(shù)方程法，運算量明顯減少，問題化歸為與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題，解法3對綜合思維能力要求高，整體代換思想和均值不等式的應(yīng)用具有創(chuàng)新性，解法4利用伸縮變換“化扁為圓”，將問題化成圓中考生比較熟悉的問題，運算量較少，但思維層次比較高，需要教師將教材中比較基礎(chǔ)的伸縮變換知識進(jìn)行拓展.