比較大小有門道，廣泛聯系巧構造

陜西省煤炭建設公司第一中學 (727000) 徐海軍

陜西省漢中市四〇五學校 (723312) 侯有岐

A.a

比較大小主要考查對函數知識的綜合運用能力，是高考常考題型之一.本題條件簡潔，a，b，c三數相差微乎其微，可以說除了構造函數再無其它妙法.那么如何構造函數呢?因為三數a，b，c的結構差異很大，無法用同一函數統一起來.但是利用對數的運算和對數函數的單調性或者貝努力不等式不難對a，b的大小作出判定,而對于a與c，b與c的大小關系，則需根據其結構特點構造不同的函數來比較大小.

(1)先比較a與b的大小.

思路一：利用對數運算和對數函數單調性.

解法1:根據對數的運算可知a=2ln1.01=ln1.012=ln1.0201，又b=ln1.02，由對數函數的單調性得a>b.

思路二：利用貝努力不等式(1+x)α≥1+αx(α≥2,x>-1).

解法2:由解法1知比較a與b的大小關鍵在于比較(1+0.01)2與1.02的大小，事實上，由貝努力不等式(1+x)α≥1+αx(α≥2,x>-1)，易得(1+0.01)2>1+2×0.01=1.02，由對數函數的單調性得a>b,這樣就排除了選項A,D,下來的任務關鍵就是判定a與c，b與c的大小關系.

(2)比較a與c,b與c的大小.

思路一：構造函數，利用函數單調性比較大小.

對于a與c,b與c的大小關系，可以將0.01或0.02換成x，分別構造函數，利用導數分析其在0的右側較小范圍內的單調性，得出a與c,b與c的大小關系.

綜上所述，b

綜上所述，b

思路二：利用對數平均不等式比較大小.

綜上所述，b

思路三：用待定系數法確定函數解析式，利用函數單調性比較大小.

用待定系數法確定函數解析式，將未知部分試用最簡單的一次函數代換，將有根號的部分用二次函數代換，從而確定函數解析式，最后利用得到的函數單調性解決比較大小問題.

回顧本題的解法，我們有如下的思考：

1.比較大小的問題，常見方法有臨界值法、單調性法、構造函數法等三種.

2.比較大小中比較復雜的問題，一般都可以通過構造函數，轉化為利用函數的單調性解決，在此導數是通法.

同理，比較b與c的大小，也可以仿照思路三的解法5，用待定系數法得到解決.由于篇幅所限，下列類似高考題請讀者練習.

1.(2020全國卷Ⅰ理12)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

2.(2020全國卷Ⅱ理11文12)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

3.(2020全國卷III理12)已知55<84,134<85.設a=log53,b=log85,c=log138，則( ).

A.a

C.b

A.a

C.b

A.a

C.b

(答案分別為B，A，A，D，A)