例談雙元不等式證明的轉化策略

浙江省臨海市靈江中學 (317000) 李秀英

在一些高考壓軸題中，常出現證明關于兩個變元x1,x2的不等式，這是一類比較復雜的問題，需要有很強的思考能力和高超的數學素養，當然也需要豐富的解題技巧.常用的解題方法是：一是轉化，即由已知條件入手，尋找兩個變元所滿足的關系式，并把含兩個變元的不等式轉化為含單元的不等式；二是巧構造函數，再借用導數，判斷函數的單調性，從而求其最值；三是再回歸到兩個變元的不等式的證明，把所求的最值應用到兩個變元不等式，即可證得結果.本文從幾個典型例題的分析求解出發，以評注揭示證題中變形轉化的核心所在，希望能夠同學們的復習迎考有所幫助.

1、合理配湊

評注：由于題目是要證明關于x1+x2的不等式，在對條件式變形過程中必須注意這個關系式，通過合理配湊，將問題轉化為求x1+x2關系式的值域，明確了下一步解題的方向.

2、抓住特點

評注：由于x與2a-x關于x=a對稱，所以f(x)與f(2a-x)在同一個單調區間內，抓住這個特殊條件將兩個函數式配湊在一起是一個很好的選擇.

3、主動拼接

評注：根據零點條件只能得到兩個孤立的等式，很難建立兩個變元x1、x2之間的關系，通過反向分析，采取對二式分別相減和相加，主動建立起兩變元的聯系，然后再消元處理，這就尋找到了一個滿足條件的函數式.

4、消參列式

評注：通過不等式的等價變形，將兩個根分布在不等式兩側，然后再利用函數的單調性轉化為對應函數值之間的大小關系.通過消掉與題目結論無關的參數b，建立了變元x1、x2都符合的函數關系式，下面只要確定函數式的符號就行了.

5、替換求解

評注：由于直接將兩個變元x1、x2湊到一起非常困難，本解法就采用了迂回戰術，通過對有極值的條件進行合理運用，引入新參數α,β，然后再尋找變元x1、x2與它們之間的關系，使要證的關系式變為與α,β相關的式子，通過求導法就容易解題了.