妙用特殊值 巧解高考題

北京市第一0一中學懷柔分校 (101407) 李加軍

山東省棲霞市觀里中學 (265314) 徐艷華

近兩年各地高考數學試題各有千秋，從不同角度考查了學生數學的“四基”、“三會”和六大數學核心素養，給人以賞心悅目的感受.縱觀各套試卷，如果抓住一般與特殊的關系，靈活尋求特值，充分發揮數學運算核心素養，有些試題可以迎刃而解，達到以四兩撥千斤的效果.

例1 (2020年北京)已知函數f(x)=2x-x-1，則不等式f(x)>0的解集是( ).

A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

分析：本題旨在借助函數y=2x和y=x+1的圖象，觀察圖象可得結果，對有些同學會有點難度.但是觀察選擇項，只需驗證特殊值即可.

例2 (2021年全國新高考)若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則( ).

A.eb

分析：結合曲線y=ex的圖象直觀即可判定點(a,b)在曲線下方和x軸上方時才可以作出兩條切線，再結合選項列舉兩組特值排除a,b所不滿足的關系，由此確定正確選項.

解：畫出函數y=ex的圖象，如圖1所示，根據直觀即可判定點(a,b)在曲線下方和x軸上方時才可以作出兩條切線.

圖1

A.abC.aba2

分析：先考慮函數的零點情況，注意零點左右附近函數值是否變號，結合極大值點的性質，選取兩組特值進行驗證，排除a,b所不滿足的關系，由此確定正確選項.

A.0 B.1 C.2 D.3

例5 (2020年山東)若定義在R的奇函數f(x)在(-∞,0)單調遞減，且f(2)=0，則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是( ).

A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]

C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]

分析：此題首先根據函數奇偶性與單調性，得到函數f(x)在相應區間上的符號，再根據兩個數的乘積大于等于零，分類轉化為對應自變量不等式，最后求并集得結果.但這一過程很多同學可能會不太清晰，如果借助特值，結果馬上水落石出.

解：記g(x)=xf(x-1)，且xf(x-1)≥0即g(x)≥0的解集為M，首先因為g(2)=2f(1)=-2f(-1)>-2f(-2)=2f(2)=0，所以2∈M，排除A，B，其次g(4)=4f(3)=-4f(-3)<-4f(-2)=4f(2)=0，所以4?M，排除C，故選D.

例6 (2020年新課標Ⅰ)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析：本題主要考查函數與方程的綜合應用，涉及到構造函數，利用函數的單調性比較大小，對學生有些難度.如果適當選取幾個特值進行驗證，可以順利解決此題.

例7 (2020年全國Ⅱ理)設函數f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，則f(x)( ).

分析：本題考查函數的奇偶性以及復合函數的單調性，如果學生的運算化簡能力稍弱，可能會出現錯誤判斷.借助特值運算，可以降低試題的難度，輕松過關.

A.是奇函數，且在(0，+∞)單調遞增

B.是奇函數，且在(0，+∞)單調遞減

C.是偶函數，且在(0，+∞)單調遞增

D.是偶函數，且在(0，+∞)單調遞減

分析：本題考查函數的奇偶性以及單調性，難度不大，但借助特值判斷，可以提高準確率.

例9 (2020年新課標Ⅱ)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

分析：本題考查對數式的大小的判斷問題，解題關鍵是將不等式變為2x-3-x<2y-3-y，通過構造函數f(t)=2t-3-t的方式，利用函數的單調性得到x,y的大小關系，考查了轉化與化歸的數學思想，但對許多同學來說并不簡單.如果通過驗證特值或許就順手得到結果.

解：易知取x=1，y=2符合條件，此時排除B, C, D,故選A.

解：取k=1，則h(x)=|x2-2x|=

例11 (2020新課標Ⅱ理)若α為第四象限角，則( ).

A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.sin2α>0 D.sin2α<0

分析：由α為第四象限角推出2α的范圍，然后判斷2α的正、余弦值的正負.選兩個特值可以快速得出結論.

例12 (2020年新課標Ⅰ文)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5}，則A∩B=( ).

A.{-4,1} B.{1,5} C.{3,5} D.{1,3}

分析：首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得A∩B，得到結果.試題雖然簡單，但結合選擇項，選特值計算更快更準.

解：設f(x)=x2-3x-4，易驗證f(1)=-6<0及f(3)=-4<0得1∈A∩B且3∈A∩B，故選D.

A

B

C

D

分析：先判斷函數的奇偶性，再判斷函數值的特點.因此直接取幾個特殊值即可.

例4 (2020年浙江)函數y=xcosx+sinx在區間[﹣π，π]上的圖象可能是( ).

A

B

C

D

分析：先判斷函數的奇偶性，再判斷函數值的特點.因此直接取幾個特殊值即可.

解：令y=f(x)=xcosx+sinx，f(π)=πcosπ+sinπ=-π<0，且f(-π)=-πcos(-π)+sin(-π)=π，排除B，C，D，故選A.

高考試題的解答固然需要扎實的基本知識，但輔之以靈活的方法將使我們如虎添翼，更加簡便快捷地解決一些問題.