一道拋物線試題的探究與推廣

廣東省佛山市第一中學 (528000) 劉振興

極點與極線是高等幾何中的重要內容，雖然不是《高中數學課程標準》規定的學習內容，也不屬于高考考查的范圍，但由于極點與極線是圓錐曲線的基本特征，因此在高考試題和各地模擬題中必然會有所反映，自然也會成為高考試題中的命題背景.

在文[1]中作者給出如下定義1和定理1的證明.

定義1 已知圓錐曲線Γ:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，則稱頂點P(x0,y0)和直線l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0圓錐曲線Γ的一對極點和極線.

一、原題再現

題目(2021年佛山一模)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，準線l交x軸于點K，過F作傾斜角為α的直線與C交于A,B兩點，若∠AKB=60°，則sinα=.

評析：解法一是常規解法，計算量偏大.解法二計算過程簡潔，先證結論:∠AKF=∠BKF,再利用這個結論快速解答.

二、拓展推廣

若把題目中過焦點F的直線推廣到過一般點Q的直線，結論也成立.

推論1 已知拋物線Γ:y2=2px(p>0),點P(-m,0),Q(m,0)，過Q作直線交拋物線于A,B兩點，則∠APQ=∠BPQ.

將推論1中拋物線的結論推廣到橢圓和雙曲線中，結論也成立.

三、高考中的應用

推論1,2和3應用很廣，以下兩道高考題的命題背景就是推論2和推論1.

(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

四、背景分析

上述推論1，2，3其實是圓錐曲線極點與極線的統一結論，見文獻[2].

性質1 如圖1、2，已知點P,Q是圓錐曲線Γ的對稱軸l上兩點(不在Γ上)，若P,Q關于圓錐曲線Γ調和共軛，過Q任作一條割線，交Γ于點A,B,則直線PA,PB與對稱軸所成的角相等.

圖1 圖2

極點與極線的性質有很多，而且經常是圓錐曲線試題的命題背景，在復習備考中需重視.

性質2 如圖3，設圓錐曲線Γ的一個焦點為Q，與Q相對應的準線為l.

圖3

(1)若過點Q的直線與圓錐曲線Γ相交于A,B兩點，則Γ在A,B兩點處的切線的交點P在準線l上，且PQ⊥AB;

(2)若過準線l上一點P作圓錐曲線Γ的兩條切線，切點分別為A,B，則直線AB過焦點Q，且PQ⊥AB;

(3)若過焦點Q的直線與圓錐曲線Γ相交于A,B兩點，過Q作PQ⊥AB交準線l與點P，則連線PA,PB是圓錐曲線Γ的兩條切線.

性質3 如圖4，已知點P,Q和有心圓錐曲線Γ，直線PQ經過Γ的中心O，與Γ交于點A,B(點A在P,Q之間).若P,Q關于Γ調和共軛，則OP·OQ=OA2；反之，若有OP·OQ=OA2，則點P,Q關于Γ調和共軛.

圖4 圖5

性質5 如圖6、7，已知點Q在圓錐曲線Γ的對稱軸上，直線l垂直于該對稱軸，過Q作直線交Γ于點A,B，P為l上任意一點.若點Q與直線l是Γ的一對極點與極線:

圖6 圖7

(1)如圖6，當對稱軸是x軸或平行于x軸時，kPA+kPB=2kPQ；

極點與極線在最近幾年全國卷高考試題中陸續出現，例如2015全國1卷理科20題，2018全國1卷理科19題，2020高考全國1卷理科第20題.作為一名高中數學老師，應當了解極點與極線的概念，掌握有關極點與極線的基本性質，只有這樣，才能“識破”試題中的蘊含的有關極點與極線的知識背景，進而把握命題規律.