一道拋物線高考題的解法探究及推廣

新疆教育科學研究院 (830049) 晏 鴻

新疆烏魯木齊市實驗學校 (830026) 符強如

一、題目呈現

已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F，且F與圓M：x2+(y+4)2=1上的點的距離的最小值為4.(1)求p；(2)若點P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A、B是切點，求△PAB面積的最大值.

這道題是2021年高考乙卷理數21題，從問題表述來看，此題取材平實, 表現樸實, 題干清晰，傳承了全國卷高考命題簡約、穩健的風格.從內容上來看考察拋物線切線、直線和圓錐曲線平面圖形(三角形)面積問題.它考查了考生的邏輯推理、數學建模、數學運算等核心素養，要求考生需要具備較高的思維能力，不愧起到了壓軸的功能.

二、第(2)問解法探究

評注：解法1中對直線AB中引入了斜率和縱截距，將面積轉化為了k、b的函數.思考是否可以從減少變量的角度出發，將面積用點P坐標去表示或者根據圖形來尋找關系表示面積，減少運算，優化解法.

思路二：運用參數方程能夠快速解決我們圓錐曲線的弦長，范圍等問題，其核心就是減少了變量或參數，此題可以借助拋物線參數方程和圓的參數方程大大優化云算.

三、探究推廣

筆者經過探究，發現上述問題結論可以一般化并推廣，可得到如下結論：

圖1

從題目出發追本溯源, 可以完善知識系統的建構, 有利于學生邏輯思維的訓練.探究問題要著眼于知識要點, 注重知識聯系, 從而拓展知識廣度，方能拓展解題思路, 凸顯數學高度[1].阿基米德三角形還有很多性質，這里就不一一舉例，與本題相關聯性質大致還有四個，其證明思路與前面大致相同，讀者感興趣可自行證明，此處從略.

性質1 過拋物線x2=2py上任意一點

A(x0,y0)的切線方程為xx0=p(y+y0).

性質2 已知Q是拋物線準線x2=2py上任意一點，過Q作拋物線的切線QA、QB分別交拋物線于A、B兩點，則AB過拋物線的焦點且AQ⊥BQ.

性質3 設過點Q與拋物線對稱軸平行的直線交拋物線于M，交切點弦于點P，則P點平分切點弦AB.(無論點Q在曲線的什么位置，上述結論均成立).且M處的切線平行于拋物線的切點弦.

性質4 點Q為直線l:y=kx+m上一動點，過點Q引拋物線x2=2py兩條切線QA，QB，則過兩切點的直線AB必過定點G(pk,-m).

讀者不妨嘗試用以上方法解下面這道高考壓軸題.