2021年新高考解三角形試題的解法探究及拓展

廣東省中山市濠頭中學 (528437) 張 宇

廣東省中山市實驗中學 (528404) 楊沛娟

1 試題呈現

(2021年新高考數學試題)設△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.(1)證明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

2 試題分析

這是一道平面幾何與三角函數的綜合試題，在高考試題中屬于中檔題，基礎較好的同學完成此題沒任何問題.當然，考生在完成此題的時候，要能讀懂題意，要求學生有較強的閱讀理解能力，基本的計算能力和較強的邏輯思維能力，同時對學生的表達能力也提出了較高的要求.解決此類問題的時候，容易出現多解，錯解或漏解的情況.

3 解法探究

評述：根據余弦定理及∠ADB=π-∠CDB得到a,b,c的數量關系，得出三條邊a,b,c之間數量關系，結合已知條件及余弦定理求cos∠ABC.

評注：運用向量方法得到邊之間的關系，充分體現了向量的工具作用，這種解法思路清晰，解法自然.

評注：此解法以余弦定理的變形，由兩角互補得到邊之間的關系，然后由余弦定理求得結果，解法自然，易于理解和掌握.

評注：此解法先由余弦定理入手，通過變形得到邊的關系，最后由余弦定理求出結果，本質上和前一解法是一樣的.

評述:解法5將AC邊用3d表示，解題過程中盡量避開分數，過程簡潔，對培養學生的思維能力極有好處.

評注：解法6通過兩個三角形中的公共角進行過渡代換，得到三條邊之間的關系，思路比較自然，易于理解和掌握.

評注：此解法同樣用一公共角進行過渡，其實質與解法6是一樣的.

評注：我們在初中學過勾股定理，在平面幾何中還有一個較有有名的定理，勾股差定理，在張景中教授的《仁者無敵面積法》中對其有較為詳細的簡介，供有興趣的讀者進一步去探究.

評注：在平面幾何中，有著名的阿波羅尼奧斯定理：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及第三邊之半的平方和的兩倍.運用平面幾何中的一些重要定理解決三角形中的一些問題，可以化繁為簡，從而達到簡化運算的目的.這些定理對參加過問競賽輔導的同學較為熟悉.

除以上解法外，此題還有其他解法，限于篇幅，不在這里展開.

4 試題拓展

經過進一步的分析探究可知，此題還可以進行如下的拓展，具體求解方法留給有興趣的讀者作為練習或進一步作研究.

拓展1 設△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.AD=kDC(k>0), 求BD和cos∠ABC.

拓展2 設△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.AD=kDC(k>0), 求BD和cos∠ABC.

拓展3 設△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2=ac，b2=mac(m>0),點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.AD=kDC(k>0), 求BD和cos∠ABC.