問渠哪得清如許，為有源頭活水來
——對2020年新高考山東卷第21題的思考

福建省福清第三中學 (350315) 何 燈

福建師范大學附屬福清德旺中學 (350319) 周 寧

1.試題與解答

山東省作為新高考綜合改革的先行省份，其命制的第一份新高考數學試卷引起社會廣泛關注.其中，吸引筆者更多目光的是該卷的導數壓軸題.

試題已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

試題第(2)問以學生熟悉的恒成立條件下求參數范圍問題呈現，乍看平淡無奇，樸實無華，細細品味后卻感覺內涵豐富，給人啟迪.

對于含參函數試題，求解的通法是參數分離法或求導法.但該題包含了以e為底的指數函數和對數函數，因指數對數纏結，運用參數分離法求解無法分離出參數，運用導數法求解無法求出極值點，所以此類問題一般都是利用同構法予以求解.

所謂同構法，是指通過對不等式恒等變形，將其轉化為形如F(g(x))≥F(h(x))(或F(g(x))>F(h(x)))的結構，利用導數研究F(x)的單調性予以求解的方法.下面是文[1]中利用同構法給出試題第(2)問的一個解答.

解析：由題意f(x)≥1恒成立等價于elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx恒成立，等價于elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx恒成立.令F(x)=ex+x，則F′(x)=ex+1>0，F(x)關于x在(-∞,+∞)上單調遞增，從而elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx恒成立等價于F(lna+x-1)≥F(lnx)恒成立，等價于lna+x-1≥lnx恒成立，即lna≥lnx-x+1恒成立.

2.分析與思考

3.啟迪與簡解

基于對數學美的感悟和啟發，我們發現如果基于數學的結構美予以解答，問題可解決得更為直觀簡捷.

評注：上述解法的巧妙之處在于充分利用了表達式的結構特點和函數圖像的特征，彰顯了數學美在數學解題中的引領和指導作用.

4.體會和感悟

解題需要常規的固定模式，看到這道題，你的第一反應是什么？迅速生成常規方案，也即第一方案.因為80%的高考題是基本的、穩定的，處理難題，從方法論的角度講就是轉換視角.常態方案不行，就需換一個方案；這種說法與思路不通，就需換一個說法.但如何實現轉換呢？如何把問題轉換到我們熟悉的領域呢？這需要經驗的積累，需要思想的立意，更需要數學美的啟迪和引領.

教學中教師要不斷創設數學美的認知活動，引領學生在數學的活動中感知數學美，體悟數學美，追尋數學美，應用數學美，讓他們在美的熏陶洗禮中切實培養起數學的學習能力，發展起數學的核心素養.