與其說教解法，不如說教想法
——理想的解題教學之我見

江蘇省沙溪高級中學 (215421) 譚海洋

解題教學，是數學教學重要的組成部分.解題教學的目的是什么，最直白的說法就是讓學生學會如何解題.于是習題課上，教師們往往十分注重解題方法的傳授，都希望借助一個問題的解決來突破一類問題的解法，期待通過“一例多練”來達到理想的教學效果，然而往往事與愿違，雖然有些相類似的題目在課堂上教師講了多遍，學生也練了多遍，但考試中學生對這些題目依然“視若路人”.那么原因何在？難道教師重視解法的教學有錯？的確，實踐證明只注重傳授解法的解題教學是達不到理想的教學效果的.筆者倒認為，對于解題教學，與其說教解法，不如說教想法，教學生“想法”才是理想的解題教學.本文結合教學案例談談自己的看法.

1、引導學生仔細審題，獨立思考，說出“想法”

審題，是解題的“前奏”，學生解題失敗往往是因為他們缺乏對題目的認識，缺乏獨立思考的能力，為此教師在解題教學中應引導學生加強審題訓練，有意識的設置思維障礙，有時可以讓學生在“形同質疑”題中“吃點虧”，從內心深處感悟審題的重要性，并通過對比與思考，說出自己的“想法”.

案例1 一道函數綜合題的解法糾錯

高一階段學習了函數內容后，筆者上了一堂函數綜合應用的習題課，給出了如下題讓學生獨立解答.

例1 已知函數f(x)=loga(ax2-x+2)值域為實數集R，求實數a的取值范圍.

在解題前，我要求學生認真審題，再交流自己的“想法”.

對于這種解法，幾乎三分之二的學生認為正確，而其余學生則不認同，但說不出所以然來，于是筆者給出例1的變式題：

變式已知函數f(x)=loga(ax2-x+2)定義域為實數集R，求實數a的取值范圍.

定義域為實數集R就是ax2-x+2>0恒成立，不就是學生1的解答嗎？一字之差，怎么會答案完全一致呢？筆者要求學生再次審題，獨立思考，并說出自己的“想法”.

學生2：學生1的解答是錯誤的，他把定義域為R當成了值域為R.我認為值域為R，并不要求定義域為R，而“定義域為R”也不能保證“值域為R”，其實只需內函數y=ax2-x+2的值域中含有(0,+∞)即可.我是這樣解的：

當a=0時，函數y=ax2-x+2即為y=-x+2，一次函數的值域為R，含有(0,+∞)，符合；

至此，例1的正確解法已“浮出水面”.在教師的引領下，學生不僅注意到審題的重要性，同時也發表了自己的“想法”，在互相補充與完善中，不斷提升數學思維能力.

從本案例可以看出，引導學生獨立思考，說出“想法”，是解題教學的必由之路，從本質上看，這個教學環節是教師引導學生如何分析問題.試想，如果教師一味地講解法，卻忽視問題的分析，那么學生怎么可能實現“解決問題”的最終目的！

2、引導學生質疑補充，獨立動手，實施“想法”

在許多教師看來，解題教學就是教會學生形成解題思路，學生在教師引導下產生解題的“想法”便認為是“大功告成”了，于是教師會迫不及待的換上一個新的問題繼續探討.表面上看似乎加大了教學容量，學生會收益更多，其實不然，這種解題教學模式，會造成學生“只會說，不會做”，這種“眼高手低”現象歸咎于只有理論指導沒有實戰演練.常言道：紙上得來終覺淺，實踐才可出真知.筆者以為，解題教學，學生實戰演習的環節不可少，教師應該引導學生質疑補充，獨立動手，實施學生各自的“想法”.

案例2 一道解析幾何題的解法質疑

解析幾何的重要教學目標是培養學生數學運算的核心素養，在教學中我們發現，對于解析幾何題的解法，學生們大都說個子丑寅卯，但考試時失分卻很嚴重，其根本原因主要有選擇方法不當或計算不過關，為了解決這個問題，筆者在圓錐曲線習題課上，給出如下問題要求學生確定解題策略，并加以獨立解答.

學生1：本題是直線與圓錐曲線位置關系含參問題，一般可借助“設而不求”的技巧，利用一元二次方程根的判別式與根與系數的關系來求解，我的解法如下：

學生3：學生2的解法雖然優于學生1的解法，但我感覺還是計算量太大，而且需分類討論，一旦忘記了直線AB斜率不存在的情形，最終會導致解答對而不全的嚴重后果.而我利用了向量共線所得到兩個關系式(橫坐標與縱坐標的關系都利用)來解，感覺比他們簡捷.

師:第三位同學的解法雖然沒有對x1+x2與x1x2的整體代入變形，但是計算量明顯比前兩位同學的解法小，而且由于沒有新的參數k，使得字母較少，變形的目標更加明確.因此我們解答直線與圓錐曲線的問題時，不要過分依賴一元二次方程根的判別式與根與系數的關系，當解方程組比較簡單時，不妨直接求出有關未知數的解，然后利用未知數的取值范圍建立不等式.

從本案例可以看出，學生說出“想法”誠可貴，但實施“想法”價更高.實施“想法”的過程中，能讓他們的數學思維暴露得更真實，能讓他們在互相質疑中，不斷提高認識，完善解答，提升數學素養，這不正是解題教學的目的嗎？由于實施“想法”要有充分的時間，所以教師應該舍得把解題的時間還給學生，寧可少講一道題，也要讓他們把“想法”變成“現實”.

3、引導學生提煉思想，一題多變(多解)，升華“想法”

在解題教學中，教師不僅要教學生如何解題，更要教學生研究題目，研究題目的背景與知識點，研究解題的解法或解法中蘊含的數學思想，研究題目的可變性等要素，只有這樣，才能提升他們的數學思維水平，升華他們的“想法”，才能讓解題教學達到“通過一道題，解決一類題”的理想境界.

案例3 一堂基本不等式應用的探究課

基本不等式堪稱求解最值問題的利器，面對一個具體問題，教師不僅要讓學生產生創造條件善于應用基本不等式的“想法”，更要讓他們站在命題者的角度去嘗試“變(編)題”，舉一反三，從而從而實現把知識轉化為能力的目的.基于此，筆者上了一堂基本不等式應用的自主變式探究課.

教師給出例題，要求先學生解答例題，并在例題基礎上圍繞基本不等式的應用進行趣味橫生的“變式接龍”活動.

師：此類問題的特點在于已知條件中變量位于分子(或分母)位置上，所求表達式變量的位置恰好相反，位于分母(或分子)上，則可利用常數“1”將已知與所求進行相乘，從而得到常數項與互為倒數的兩項，然后利用基本不等式求解.下面請同學們根據例題圍繞基本不等式的應用自主變式，并交流發言.

學生2：我由x+y=1聯想到sin2α+cos2α=1，于是把它變成一個三角函數最值問題：

學生3：我把條件與結論互換，得到如下變式：

學生4：我把條件變成直線方程的背景，得到如下變式：

學生5：我把例題的條件與所要求的最值的代數式都變得復雜些：

學生6：我把例題的條件與所要求的最值的代數式都變得復雜更復雜：

學生7：剛才大家編的題目都是變量一次型的，我編了個二次型的：

學生8：我把條件等式和所求最值的代數式都變成二次型：

……

真是一石激起千層浪，學生們躍躍欲試，幾乎每位學生都展示了自己的“佳作”.實際上，提出問題比解決問題更重要.解題教學，教師不僅要引導學生解決問題，更要引導學生提出問題，因為這是一條提煉思想，升華“想法”的“綠色通道”.從本案例可以看出，一個問題的解決不是解題教學的結束，而是點燃學生“想法”的“導火索”.在解題教學中，教師應該充分相信學生，把思考的時間與空間還給學生，并積極加以引導，那么，學生的數學思維與能力必將得到升華，這樣的課堂必然會活力四射.

什么是理想的解題教學？筆者以為，讓學生對數學題有“想法”，實施“想法”，并循著數學規律不斷產生新的“想法”的解題教學才是理想的解題教學，因為這種教法不僅符合學生的認知規律，而且能讓學生的核心素養得到全面發展.