有效整合，從無序走向精彩
——基于變式教學理念的初中幾何課例的實踐與思考

江蘇省太倉市第一中學 (215400) 朱建良

初中數(shù)學變式教學的重點是培養(yǎng)學生的數(shù)學理解能力，變式教學圍繞相同的數(shù)學知識變換問題的條件與結(jié)論，通過一題多變、一法多用、一題多解等學習模式，引導學生在探究體驗的解題過程中，理解頓悟其內(nèi)在的數(shù)學規(guī)律，從而揭示數(shù)學本質(zhì)，幫助學生完整、透徹地理解數(shù)學知識，形成良好的認知結(jié)構(gòu)，以其達到事半功倍的學習效果.本文以蘇科版數(shù)學九年級“圓”的一節(jié)復習課為例，嘗試通過變式教學整合一類問題的學習資源，立足于學生能力的發(fā)展本位設計變式問題，挖掘其教學價值，敬請同行指正.

1.模型先行，提出問題

挖掘一類問題內(nèi)隱的本質(zhì)是實施變式教學的根本任務，變式教學設計的目的在于突破難點，顯現(xiàn)知識本質(zhì)規(guī)律.蘇科版數(shù)學九年級(下)，學習了《圓》內(nèi)容后，類似于數(shù)學研究提出以下問題：

問題如圖1，⊙O中，弦BA、DC延長線相交于點P，分別連接AC、BD、BC、AD，找出圖中相似的三角形.

圖1

解析：如圖2，△BCP∽△DAP，△PAC∽△PDB，△BGA∽△DGC，△BGD∽△AGC.

圖2

設計的問題蘊藏著豐富的數(shù)學模型，探究活動從此圖形中的四對相似三角形入手，思辨認知起點低，切入口小，圖2蘊含了豐富內(nèi)涵與意義，即⊙O內(nèi)接四邊形ABCD的形狀變化是系列問題探究發(fā)展的主線，為學生的思維活動提供了一個探究平臺，設計探究⊙O內(nèi)接四邊形ABCD相關線段位置關系和線段長度、相關線段與⊙O半徑的數(shù)量關系是實施變式教學的支點，在拓展學生思維的同時，突出知識本質(zhì)，幫助學生主動構(gòu)建圓內(nèi)接四邊形的知識體系，提升數(shù)學素養(yǎng).

2.明晰目標，啟迪思維

以上述問題為幾何模型，變化條件，提煉出最具教學價值的核心內(nèi)容，生長圖形變式問題，把圓周角、等腰三角形等特殊圖形的相關性質(zhì)為思維起點，轉(zhuǎn)化到尋求相似三角形所對應的角、邊之間的數(shù)量關系，深挖基本圖形的模型功能，在比較圖形、類比方法、遷移問題

變式1 如圖3，⊙O中，弦BA、DC延長線相交于點P，DA=AP，求證：BC=PC.

圖3

解析：易知由∠B=∠D=∠P，有BC=PC.

變式2 如圖4，⊙O中，弦BA、DC延長線相交于點P，若AD經(jīng)過圓心O，且DC=CP，求證：BC=DC.

圖4

解析：連接AC，證AC垂直平分DP，有AD=AP，∴∠D=∠P，證∠B=∠P，有BC=PC，又DC=CP，∴BC=DC.

變式3 如圖5，⊙O中，弦BA、DC延長線相交于點P，若BD=BC，求證：BD2=BA·BP.

圖5

變式1問題導向由簡單直觀型知識結(jié)構(gòu)向拓展抽象型知識結(jié)構(gòu)延伸，變式2和變式3以變式1為基礎，圖形變化而方法不變，實現(xiàn)了原有知識、經(jīng)驗基礎上的主動建構(gòu)，有效遷移應用到新情境的過程，逐漸完善了學生的數(shù)學知識體系.

3.有序遞進，內(nèi)化提升

一個主題，立足一類問題，變化圖形結(jié)構(gòu)，發(fā)散數(shù)學思維，教學設計力求以少換多，以少求高，讓數(shù)學思維更加高階；通過變化圓內(nèi)接四邊形的位置，由特殊的位置變化引發(fā)相關線段的數(shù)量關系的求解的深度思考，以少博深，擬達成對數(shù)學知識的深度理解.

變式4 如圖6，⊙O中，AD為⊙O直徑，AD=AP，弦BA、DC延長線相交于點P.

圖6

(1)求證：DC=CP；

(2)若BC=3，DC-AC=2，求此⊙O的半徑；

(3)在(2)條件下，求弦AB長.

變式5 如圖7，⊙O中，弦BA、DC延長線相交于點P，AP平分∠EAC.

圖7

(1)求證：∠BDC=∠BCD；

(2)若BA·BP=12，AD是該⊙O的直徑，BA=2，求CP長.

變式問題旨在潛移默化的解決一類問題過程中優(yōu)化學習策略，而不強求急于求成，設計有序的由淺入深的問題串，循序漸進，數(shù)學思維訓練拾級而上.變式4和變式5富有層次性和可操作性，引導學生聯(lián)系⊙O直徑與相關線段的數(shù)量與位置關系，把分散的條件集中到特殊的直角三角形中，再通過三角形相似的性質(zhì)求解問題，以已建立的幾何模型為臺階，一步一個腳印，合情合理地提升學生的變式思辯能力，用批判性的眼光去審視圖形的內(nèi)在變化，真正理解基本圖形的模型功能.

4.邏輯推理，深層理解

變式問題的目的在于通過設計“核心問題”辨析圖形特征，拓展幾何模型，幫助學生深刻理解知識的內(nèi)在邏輯.設計“核心問題”的意義就是問題引領或問題驅(qū)動，用“核心問題”博得學生深層次思考，繼續(xù)變式問題由特殊線段數(shù)量關系的探究過渡到探尋特殊角的數(shù)量關系，遷移方法，形成策略.

變式6 如圖8，⊙O中，弦BA、DC延長線相交于點P.

圖8

(1)∠DEC=∠DPB，求證∠DBA=∠DCA；

(2)若∠DEC=∠DPB=42°，求∠D度數(shù)；

(3)若∠DEC=α，∠DPB=β，且∠α≠∠β，試用∠α、∠β表示∠D的大小.

在學生已有的認知基礎之上，以整體關聯(lián)為突破口，將變式問題中的知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成學生的認知結(jié)構(gòu)，以“數(shù)學核心問題”促進學生結(jié)構(gòu)化思維的發(fā)展，變式6引導學生進行多角度的探究與思考，培養(yǎng)學生多向思維，更深層次地理解問題表征，變式6從特殊到一般情形，探究∠α、∠β與∠D的數(shù)量關系，合理轉(zhuǎn)化至“三角形內(nèi)角和”的性質(zhì)，變換了問題中非本質(zhì)的特點，引導學生從不同的角度加深對基本模型的認識.

實施變式教學的重要原則是變式的合理性，不是單純地變式問題中的條件、結(jié)論，不是讓學生在重復訓練中掌握知識，而是通過多樣性、具有思維深度的變式訓練獲得數(shù)學的一般研究方法，獲得“透過表面想本質(zhì)”的高階思維的能力，用“數(shù)學核心問題”引導學生去辨析、反思中認清變化的圖形背后不變的幾何模型，從不變的本質(zhì)中探求出變的規(guī)律，從而優(yōu)化學習策略，真正提高學習效益.