向量函數的泰勒公式的不同形式及其證明

◎胡有婧 (寧夏大學數學統計學院,寧夏 銀川 750021)

1 引 言

數量函數的泰勒公式在數學中是一個非常重要的公式，有無數的研究成果.而對于向量函數的泰勒公式，中國知網能查到的文獻并不多，微分幾何教材中也只是給出了三維空間中帶拉格朗日型余項的泰勒公式及其簡略證明，本文參考文獻[1]-[6]，給出了m維空間中向量函數的泰勒公式的不同形式與證明，希望對學習本部分內容和用到該公式的同志能有所幫助.

我們都知道，曲線和曲面的方程有多種形式，其中一種就是用向量函數來表示，而在微分幾何、計算幾何、計算機圖形學、計算機輔助設計等課程中，所研究的起有著重要作用的曲線與曲面，也都是以向量函數的形式表示的，所以對它們的幾何性質與逼近性質的分析，也是這些學科研究的內容之一.而向量函數的泰勒公式正是近似計算和理論探討的有力工具之一，所以對向量函數的不同形式的泰勒公式的研究是非常有意義的.

本文中向量的坐標統一用花括號括起來，指標i的變化統一約定為i=1,2,…,m.

設V是實數域R上的一個m維向量空間Rm，I是V中一區域，如果對于每一點P(t)∈I?V，有一個確定的向量r(t)和它對應，則我們說，在I上給定了一個向量函數，記作

r=r(t)，P(t)∈I.

如果在V中取定坐標系，則向量函數對應的就有坐標，不妨設

r(t)={x1(t),x2(t),…,xm(t)}，

(1)

其中xi(t):R→R，均為I上的實函數.

2 向量函數的泰勒公式及證明

定理以t0、t0+Δt為端點的閉區間記作D，設向量函數r(t)在t∈D上有直到n+1階的連續偏導向量，則有泰勒展開式

(1)拉格朗日型

(2)柯西型

存在0<θi<1，使得

(3)積分型

證明由已知條件和(1)式，易得分量函數x1(t),x2(t),…,xm(t)在t∈D上有直到n+1階的連續偏導向量，根據數量函數的泰勒公式，得

(2)

其中Ri(t0+Δt)為余項，將(2)式代入(1)式，得

其中余項為

R(t0+Δt)={R1(t0+Δt),R2(t0+Δt),…,Rm(t0+Δt)}.

(3)

(1) 根據數量函數的泰勒公式的拉格朗日型余項，則存在

ξ1，ξ2，…，ξm∈D，

(4)

使得

(5)

將(5)式代入(3)式，得

(6)

根據向量函數的極限定義和運算法則，取極限可得

(7)

將(7)式代入(6)式得

(2) 根據數量函數的泰勒公式的柯西型余項，則存在

0<θi<1，

(8)

使得

(9)

將(9)式代入(3)式，得

(10)

再由已知條件和(8)式，得

所以

(11)

將(11)式代入(10)式得

其中

ε(t0,θi,Δt)={ε1(t0,θ1,Δt),ε2(t0,θ2,Δt),…,εm(t0,θm,Δt)}，

由(11)式得

(3) 根據數量函數的泰勒公式的積分型余項，得

(12)

將(12)式代入(3)式，根據向量函數積分的定義和運算法則得

當r(t1,t2,…,tn)是無限可導的，我們就可以把它展開為泰勒級數的形式， 即

如果r(t1,t2,…，tn)是解析函數，則上面的泰勒級數是收斂的[2].

3 結束語

對于三維空間中向量函數的帶拉格朗日型余項的泰勒公式，在經典微分幾何教材中有一個非常重要的應用，就是利用其對一般曲線在一點鄰近的近似形狀進行研究，得到曲線在一點的近似形狀完全由該點的曲率和撓率確定，這在曲線論中也是一個非常重要的結論.對于m維向量空間V中的向量函數r=r(t)，它在V中所表示的幾何圖形仍然為曲線，此方程為其參數方程.利用本文中推導的定理，同樣可以對其進行近似計算和代數逼近，得到相關的結論，感興趣的同志可以自己去推導.