輔助函數在數學分析解題中的應用

◎童雷雷 王良晨 (重慶郵電大學理學院，重慶 400065)

數學分析是數學專業的基礎課程，內容比較抽象，習題解答的技巧性較強，而函數思想在數學分析解題中發揮著重要作用，尤其是輔助函數的構造，往往能把相對復雜的問題變得簡單，適用于解決一些不易直接從條件推導出結論的題目，如閉區間上連續函數有界性、介值定理的證明，某些區間上函數一致連續性的證明，方程組根的存在性證明，微分中值定理、積分中值定理的證明，極限、定積分的計算，等式或不等式的證明，條件極值等等.然而，輔助函數的構造技巧性比較強，又沒有固定的構造方法，其構造過程需充分利用猜想、歸納、類比、化歸思想、逆向思維等數學思想，針對不同的題目，是否需要構造輔助函數以及構造什么樣的輔助函數就成為解題的難點和關鍵.因此，歸納一些適合通過構造輔助函數解答的題型，讓學生掌握一些構造輔助函數的方法和技巧，利于學生打開解題的思路，節約解題時間，也能為數學專業老師備課提供一些幫助.在本文中，我們將歸納總結幾類需要構造輔助函數解答的題型，并針對相應的題型介紹一些輔助函數的構造方法.

一、涉及微分中值定理的題型

在一些中值存在性問題的證明題中，題目給出的條件與需要證明的結論之間沒有直接的邏輯關系，直接利用題目給出的條件，不能或不易得出結論，這就需要借助已有知識，構造一個從未知到已知的橋梁，即嘗試通過構造輔助函數并結合羅爾定理、拉格朗日中值定理或柯西中值定理等理論工具進行解答.

例1[1]假設f(x)在[0,π/2]上具有一階連續導數，在(0,π/2)上二階可導，且滿足f(0)=0,f(1)=3,f(π/2)=1.

證明：存在ξ∈(0,π/2),使得f′(ξ)+f″(ξ)tanξ=0.

由于f(0)=0,f(1)=3，由連續函數的介值定理知存在α∈(0,1),使得f(α)=1.

又由于f(π/2)=1，由羅爾定理知存在η∈(α,π/2)使得f′(η)=0，即F(η)=0.

所以,F(x)在[0,η]上滿足羅爾定理的條件，故存在ξ∈(0,η)?(0,π/2),使得F′(ξ)=f′(ξ)cosξ+f″(ξ)sinξ=0 兩邊同除cosξ,即得證.

證明：設g(x)=ex.因函數f(x)滿足拉格朗日中值定理的條件，所以存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ)(b-a)=f(b)-f(a).

由于f(x),g(x)滿足柯西中值定理的條件，故存在η∈(a,b)使得

若結論中需要證明的是形如f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ)的形式，則我們可將結論進行變形，得到f(ξ)g″(ξ)-f″(ξ)g(ξ)=0，從而得其原函數F(x)=f(x)g′(x)-f′(x)g(x),即為要構造的輔助函數.

對于需要利用柯西中值定理解答的題目，在構造輔助函數的時候需要格外注意觀察結論的形式，通過逆序思維構造輔助函數.如果結論中含有函數的高階導數(二階、三階或更高階導數)時，我們還可以考慮用泰勒公式構造輔助函數.

二、涉及一些不等式證明或者方程根的存在性問題的題型

在處理一些不等式證明相關的習題時，需適當地將不等式移項，通過構造輔助函數，利用函數的單調性、拉格朗日中值定理或函數的凸凹性，比較不等式兩邊的大小，證明不等式.此外，通過構造輔助函數也能證明某些等式成立.

證明：設F(x)=xp+(1-x)p,則F′(x)=pxp-1-p(1-x)p-1=p[xp-1-(1-x)p-1].

當x<1/2時，F′(x)<0.當x>1/2時，F′(x)>0.當x=1/2時，F′(x)=0.

在證明方程組根的存在性問題時，也常通過構造輔助函數，利用連續函數的介值定理或羅爾定理證明解的存在性.

顯然F(0)=F(1)=0，由羅爾定理，在(0,1)上至少有一點ξ，使得F′(ξ)=0，即F′(x)=a0xn+a1xn-1+…+an=0在(0,1)上至少有一個根ξ.

三、通過構造輔助函數，補充連續性條件

在運用已學知識解答題目的過程中，會遇到缺少某個條件的情況，比如利用含參變量積分的性質計算某些極限或積分問題時，要求含參變量積分的被積函數連續或要求被積函數的導函數連續(若是參變量反常積分，還需再加上一致收斂的條件)，此時積分運算與極限運算、求導運算可交換.利用這些性質解答一些積分或極限問題時，需嚴謹地驗證這些條件是否滿足，如果不滿足，我們要構造一個既能滿足所缺條件又與所證結論相聯系的輔助函數.

解：構造輔助函數

因為對任意的x∈[0,1]有

在利用所學定理或已有的結論解答某些題目時，需嚴謹地驗證這些定理或結論所應滿足的條件，當某些條件缺失時，需通過輔助函數補充.類似的構造輔助函數的方法也適用于推廣的羅爾中值定理的證明.

證明：構造輔助函數

則F(x)滿足羅爾定理的條件，至少存在一點ξ∈(a,b),使得F′(ξ)=f′(ξ)=0.

結束語

現有的許多教材，在通過構造輔助函數進行解題時，通常會直接給出輔助函數.由于數學題型多變，學生常常把握不住輔助函數的具體構造方法和經驗，對于哪些類型的題目適合通過構造輔助函數來求解，常常也會模糊不清的，不能很好地將所學知識進行融合，長此以往，學生漸漸會失去學習的信心和興趣.因此，高校教師需要調整或改進教學方法，在講授相關知識點時，積極引導和幫助學生建立知識的銜接，注意整理不同輔助函數的構造方法，學會總結解題技巧，積累解題經驗.通過構造輔助函數解題，既能使學生更好地熟悉和掌握所學知識，又利于打開解題思路，提高解題能力，還能培養良好的觀察能力及嚴謹的思維能力，提高學習效率.