冪函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)研究
——基于教材比較的視角

◎彭小烜 王良偉 (重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 404100)

作為基本初等函數(shù)之一，冪函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用較為廣泛的一類函數(shù)，也是后面探究學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ).在冪函數(shù)的學(xué)習(xí)和研究過(guò)程中，蘊(yùn)含著研究一類函數(shù)的基本內(nèi)容.從研究函數(shù)的定義到研究函數(shù)的表示，再到研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，最后到應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，即定義、表示——圖像與性質(zhì)——應(yīng)用的基本思路.[1]下面本文將對(duì)冪函數(shù)的內(nèi)容進(jìn)行新舊教材的對(duì)比分析，并以教材為依據(jù)，設(shè)計(jì)冪函數(shù)的教學(xué)過(guò)程.

一、冪函數(shù)的新舊教材比較

(一)冪函數(shù)在兩本教材中的位置不同

2019年人教A版新教材將“冪函數(shù)”放在第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”的第三小節(jié).而2004年人教A版教材將其放在第二章“基本初等函數(shù)(Ⅰ)”的第三小節(jié).

(二)冪函數(shù)在兩本教材中的內(nèi)容設(shè)置不同

兩本教材都希望引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)例歸納總結(jié)，概括出冪函數(shù)的定義，新教材還特別指出冪的指數(shù)除了取整數(shù)外，還可以取其他實(shí)數(shù)，這是舊版本教材所沒(méi)有的，表明新教材對(duì)定義的細(xì)節(jié)解釋得更加完備.

觀察圖形變化,是處理教學(xué)難點(diǎn)的一個(gè)關(guān)鍵因素.[2]在探究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)時(shí)，舊教材直接要求學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫冪函數(shù)的圖像，進(jìn)而探究其定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性和定點(diǎn).而新教材先提出問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生結(jié)合以往學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，思考如何研究這些函數(shù)，這里體現(xiàn)了新教材以學(xué)生為本的設(shè)計(jì)理念，學(xué)生在冪函數(shù)的探究學(xué)習(xí)中，回顧了函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，為函數(shù)的應(yīng)用和下一章研究指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)奠定了基礎(chǔ).同時(shí)，新教材的表格中僅涵蓋了定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性，并提出問(wèn)題：這些函數(shù)圖像有公共點(diǎn)嗎？提出這樣的問(wèn)題也符合教材前兩節(jié)的內(nèi)容設(shè)置，即在前面的學(xué)習(xí)中僅研究了單調(diào)性、最大(小)值和奇偶性.關(guān)于冪函數(shù)圖像特有的性質(zhì)——公共點(diǎn)，可以由學(xué)生觀察圖像自行得出.

兩本教材均列舉了同一道題目，只是問(wèn)法不同.新教材在提問(wèn)時(shí)，沒(méi)有直接給出定義域，需要學(xué)生先判斷定義域，再在定義域內(nèi)證明函數(shù)的單調(diào)性.由此可見(jiàn)，新版教材更側(cè)重于學(xué)生解決問(wèn)題的思維嚴(yán)謹(jǐn)性.

在習(xí)題部分，舊教材僅羅列了3道題目.而新教材的課后練習(xí)分為兩部分，第一部分是關(guān)于冪函數(shù)概念以及性質(zhì)的3道基礎(chǔ)題，第二部分包含兩類題型，習(xí)題的難度逐漸遞增，由基礎(chǔ)到綜合，層層遞進(jìn).新教材編寫的初衷是希望學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵理解更深刻，學(xué)會(huì)將所學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用到實(shí)際生活中.

二、冪函數(shù)的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

針對(duì)上述新舊版本教材中冪函數(shù)內(nèi)容的對(duì)比，一線教師更關(guān)注的是怎樣利用新教材進(jìn)行教學(xué).“理解數(shù)學(xué)，明確教學(xué)重難點(diǎn)”是冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)的首要任務(wù).[3]關(guān)于冪函數(shù)的教學(xué)難點(diǎn)，即通過(guò)5個(gè)具體的典型函數(shù)，使學(xué)生能夠歸納共性，并用符號(hào)語(yǔ)言概括冪函數(shù)的概念.冪函數(shù)的教學(xué)重點(diǎn)是使學(xué)生能夠畫出幾個(gè)典型的冪函數(shù)圖像，通過(guò)觀察圖像發(fā)現(xiàn)它們的變化規(guī)律，并探究得到冪函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).以下即為具體的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì).

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

教師提出下面5個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)學(xué)生思考能否用題目中所給變量寫出它們之間的函數(shù)關(guān)系？寫出的函數(shù)解析式有怎樣的共同特征？(見(jiàn)書P89)

生2：若把函數(shù)表達(dá)式中的自變量都用x表示，因變量都用y表示，可以更容易發(fā)現(xiàn)y關(guān)于x的函數(shù)的共同特征.

設(shè)計(jì)意圖：教師從生活中的實(shí)例出發(fā)，創(chuàng)設(shè)具體情境，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)解決實(shí)際問(wèn)題.在得到函數(shù)解析式后，教師在此基礎(chǔ)上設(shè)疑，這5個(gè)函數(shù)解析式有怎樣共同的特征，希望學(xué)生在歸納過(guò)程中通過(guò)自主探究找到它們的共同點(diǎn)，這其中蘊(yùn)含了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

2.歸納總結(jié)，形成概念

師：通過(guò)對(duì)這幾個(gè)函數(shù)解析式共同點(diǎn)的歸納，我們發(fā)現(xiàn)這幾個(gè)解析式都具有冪的形式，并且都是以冪的底數(shù)為自變量，其中冪的指數(shù)都是常數(shù)，我們就將這類新的函數(shù)稱作冪函數(shù)，其形式為y=xα，其中x為自變量，α為常數(shù).這里的常數(shù)除了取整數(shù)之外，還可以取實(shí)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生的探究歸納，教師進(jìn)行總結(jié)，給出冪函數(shù)的準(zhǔn)確定義.相比于舊教材，新教材還提出了指數(shù)位置的常數(shù)包括整數(shù)和其他實(shí)數(shù)，在取其他實(shí)數(shù)時(shí)，冪都有著不同的含義.因此，教師要在給出定義后，明確常數(shù)取值范圍，以保證定義的準(zhǔn)確性.

3.探究新知，研究性質(zhì)

師：結(jié)合以往學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣研究函數(shù)？

生3：可以通過(guò)觀察圖像研究?jī)绾瘮?shù).

生 4：在學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性時(shí)，我們不僅觀察了圖像，還利用函數(shù)解析式推導(dǎo)了f(x)與f(-x)之間的關(guān)系.

師：兩位同學(xué)說(shuō)的都很好，看來(lái)你們對(duì)前面內(nèi)容的學(xué)習(xí)已經(jīng)融會(huì)貫通了.請(qǐng)大家以小組為單位畫出這5個(gè)函數(shù)的圖像.注意，畫圖像的時(shí)候不要忘記判斷函數(shù)的定義域.

師：提示大家，我們都知道畫函數(shù)圖像有三步，列表、描點(diǎn)、連線，但碰到比較陌生的函數(shù)時(shí)，大家可以先觀察函數(shù)解析式，根據(jù)解析式判斷函數(shù)的性質(zhì)，再根據(jù)性質(zhì)畫圖像，例如奇函數(shù)的圖像是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的.

設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)教學(xué)中“數(shù)”與“形”結(jié)合的問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，[5]在研究?jī)绾瘮?shù)的過(guò)程中，教師可以讓學(xué)生先回顧以往的學(xué)習(xí)是怎樣研究函數(shù)的性質(zhì)的，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考、善于思考，而不是像舊教材設(shè)計(jì)的教學(xué)流程一樣，直接讓他們?nèi)ヌ顚懕砀瘢治霰砀?，通過(guò)對(duì)照直接得到冪函數(shù)的性質(zhì).可以說(shuō)，編者在新教材中更側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力.

師：(展示圖像)如圖1.

師：好，大家對(duì)比自己畫的圖像和課件中用Geogebra軟件展示的圖像是否相同，為了便于觀察，教師將它們放到同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系內(nèi).根據(jù)圖像，我們能得到這幾個(gè)冪函數(shù)的哪些性質(zhì)呢？

生5：這些圖像都過(guò)同一個(gè)點(diǎn).

生6：?jiǎn)握{(diào)性，奇偶性.

生7：第四象限沒(méi)有函數(shù)圖像.

師：非常好，那你們誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)為什么第四象限沒(méi)有函數(shù)圖像呢？

生8：因?yàn)閮绾瘮?shù)的表達(dá)式是y=xα，當(dāng)x>0時(shí)，α取何值，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都大于0，因此，第四象限沒(méi)有函數(shù)圖像.

師：很好，看來(lái)你已經(jīng)能夠運(yùn)用函數(shù)表達(dá)式來(lái)解決函數(shù)圖像的相關(guān)問(wèn)題了，這其中也蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想.

師：我們通過(guò)函數(shù)圖像及表格可以歸納出這些函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)了.

(1)這5個(gè)函數(shù)都過(guò)定點(diǎn)(1，1)；

(2)函數(shù)y=x,y=x3,y=x-1是奇函數(shù)，y=x2是偶函數(shù)；

(4)在第一象限內(nèi)，函數(shù)y=x-1的圖像向上與y軸無(wú)限接近，向右與x軸無(wú)限接近.

師：通過(guò)大家的合作探究，我們已經(jīng)研究了一些冪函數(shù)的性質(zhì)，那對(duì)于其他的冪函數(shù)，大家可以仿照類似的方法進(jìn)行研究.大家要注意，學(xué)習(xí)冪函數(shù)這一節(jié)主要是為后面研究其他函數(shù)打下基礎(chǔ)，掌握研究函數(shù)的一般步驟和方法即可.至于一般冪函數(shù)的性質(zhì)，感興趣的同學(xué)可以課下查閱資料，自行探究.

設(shè)計(jì)意圖：關(guān)于冪函數(shù)性質(zhì)的探究，教師的主要任務(wù)就是引導(dǎo)學(xué)生掌握研究函數(shù)圖像的一般方法.

4.例題講解，回顧反思

生9：先確定函數(shù)的定義域，再在定義域中任取x1,x2，設(shè)x1

師：對(duì)，請(qǐng)同學(xué)們和教師按照這樣的證明思路一起完成這道例題.

設(shè)計(jì)意圖：例題部分，教師首先帶學(xué)生復(fù)習(xí)增函數(shù)的證明方法，并將此方法運(yùn)用到冪函數(shù)的單調(diào)性證明中.相比舊教材，新教材的設(shè)計(jì)更合理，幫助學(xué)生綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí).

5.分層作業(yè)，鞏固新知

師：今天的作業(yè)是完成教材課后練習(xí)題以及習(xí)題3.3中復(fù)習(xí)鞏固的第1，3題.同時(shí)同學(xué)們要以小組的形式解決綜合運(yùn)用的一道實(shí)際問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：相比舊教材，新教材將課后練習(xí)設(shè)置得更詳細(xì)，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的考查更具針對(duì)性，難度層層遞進(jìn).

6.拓展延伸，活躍思維

師：我們學(xué)習(xí)過(guò)冪函數(shù)y=x,y=x-1，請(qǐng)同學(xué)們閱讀教材92頁(yè)的“探究與發(fā)現(xiàn)”，嘗試探究一個(gè)新的函數(shù)y=x+x-1具有哪些性質(zhì)？

三、總 結(jié)

本文通過(guò)對(duì)比新舊教材“冪函數(shù)”一節(jié)，對(duì)其內(nèi)容上的增減和創(chuàng)新之處、所處位置的變化等進(jìn)行了詳細(xì)的闡述，并根據(jù)新教材進(jìn)行了冪函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì).在冪函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)把握好冪函數(shù)的重難點(diǎn)，在歸納冪函數(shù)的定義時(shí)，教師要注重啟發(fā)引導(dǎo).同時(shí)，在探究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)時(shí)，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生畫出函數(shù)圖像，根據(jù)所畫圖像探究相關(guān)性質(zhì).同時(shí)，關(guān)注學(xué)生知識(shí)理解與遷移程度是一個(gè)切實(shí)可行的抓手[6].因此，教師在以后的教學(xué)中要向?qū)W生逐步滲透探究數(shù)學(xué)的方法和思想，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的意識(shí).