指向高階思維能力提升的“數形結合”教學實踐

◎趙 岷 (無錫市育紅小學,江蘇 無錫 214000)

前 言

受應試教育的影響，傳統教學局限于低階思維，課堂注重傳遞知識和培養技能，忽視培養學生的高階思維能力.數形結合的本質意義是在數量的精準刻畫和圖形的形象直觀之間實現優勢互補，促進解決問題.教師可以以數形結合為載體，改善學生的思維方式，培育學生高階思維能力.

一、以“數形結合”培養分析性思維能力

(一)依托數意 提升抽象思維

數的認識和數的計算是數與代數領域中最基礎的部分，是小學數學的重要學習內容.由于小學生在學習這些內容時常常需要借助直觀形象的材料進行思考.教師在教學認數和計算等有關知識時，需要引導學生用圖形的結構把數之間的關系清晰地表達出來,繼而借助圖形進行分析、比較、歸納，提升學生的抽象綜合能力.

比如，在“小數的近似數”教學過程中，學生根據四舍五入法得到1.496億千米≈1.5億千米，1.496億千米≈1.50億千米后，因為1.5=1.50.那么“1.50比1.5更精準”，對學生來說很難理解.此時，借助圖形的形象直觀，可以幫助學生理解知識的內在含義.在學生畫出數軸后，讓學生小組合作，討論思考1.5可能是哪些三位數近似的結果.1.50可能是哪些三位數近似的結果.在學生自主找出它們的取值范圍后，及時用弧線標注.如圖1屏幕上同時呈現兩個數軸，進行分析比對，學生對“1.50比1.5更精準”的內在含義就非常清晰了.

圖1

數軸是小學數學知識中數形緊密結合的形象體現，用具體的“形”(點)表示一個個抽象的“數”，在數形之間搭起了一座橋梁.學生通過自主查找有形的區域，使原本一些模糊的感性認識變得清晰具體，讓抽象概念變得具體可視.

(二)理解算理 拓展推理思維

計算滲透在學生小學數學學習的每一個環節，是一項必不可缺的技能.計算教學要遵從學生已有的知識內容和操作經驗，設計相關教學活動，引導學生在操作實踐中發現運算規律，在合作交流中領悟運算方法，在實踐活動中明晰運算道理.這就要求教師清晰引導，步步有依據，環環合邏輯.

圖2

二、以“數形結合”，培養實踐性思維能力

教學設計要在學生的日常生活環境中，尋找與數學有關的信息，把現實情境中的條件、問題以及它們之間的關系轉化成合適的圖形，再借助圖形直觀地進行分析、推理，進而形成解決問題的思路.

(一)借助形象 改造問題情境

在具體教學實踐中，遇到復雜的、陌生的、不熟悉的題目，在不改變問題結果的情況下，運用數形結合，優化改造部分問題情境，通過觀察圖形、化繁為簡、化難為易，可以清晰地分析數量關系，最終促進解決問題.這種做法能夠有效地提升學生的實踐性思維能力.

以行程問題例:南北，東西兩條路相交成直角.A距交點3000米處,自南向北行走，B在交點，自西向東行走，5分鐘后，A，B離交點距離相等(A未到交點);A，B兩人繼續前行,又經過了35分鐘,A，B和交點的距離再次相等.問A每分鐘行走多少米?

這道題直接讓學生解答，題目的表述容易給學生造成困擾，思路上不能清晰整理.遇到行程問題，學生會重點關注參與行程的物體(一個物體、兩個物體、多個物體)，物體的運動方向(相向、相背、同向)，運動的軌跡(直線、環形)，以便尋找物體的運動關系.這道題雖然是兩個物體參與行程，令學生困惑的是兩個物體沒有在一條直線上運動，兩個物體之間的運動關系中沒有清晰的提示，這和學生已有經驗產生了極大差距.教師引導學生通過畫路徑圖，改變問題情境，幫助學生突破思維困惑點.改變B的行走方向，假設第一次B不是“從交點向正東方向行走”，而是“從交點向正南方向行走”會出現什么情況？學生通過畫路徑圖，觀察交流后發現：如果B改變運動方向，結果就會和A相遇；同理，若B再次改變運動方向，假設B一開始就沒有“從交點向正東方向行走”，而是“B從交點向正北方向行走”，那么最終結果會出現什么情況？學生繼續畫圖分析結果：A就會追上B.

通過畫路徑圖，改變B的運動方向，改變部分問題情境，把學生不熟悉的兩條運動軌跡的條件情境改造成學生熟悉的、運動軌跡在一條直線上的相遇問題或追擊問題情境，從而把原本陌生的問題情境轉化成熟悉的情境.

(二)基于直觀 展示真實情形

合理營造問題情境,通過問題串帶動深度探究活動,在教學過程中靈活運用數形結合,引導學生通過圖形思考，帶動問題探究,明確數量關系,[3]能成功完成知識的構建,使學生的應用意識、思考能力、探究能力都得到發展.

例如，園林公司需在小區門口60米長的道路一邊種樹，要求兩個樹苗之間留3米間距,道路兩端都要種樹，一共需要種樹多少棵?教師幫助學生構建種樹情境，用手指表示樹苗，指縫表示間隔，研究樹苗和間隔的關系.基于對自身手指的理解,學生很快得出結論:樹苗總數比間隔數多1，間隔數比樹苗總數少1.如果教學止于此，那學生對知識的理解是淺層的，還需經歷問題的深度探究過程.教師應適時改變題目中關鍵詞語，將“兩端植樹”改做“一端植樹”“兩端都不植樹”“兩側植樹”.隨著題目條件的改動，圖形需要做出相應的變化，學生的思維在探究中逐漸深刻.分析與探究實際問題的經歷，展現問題情境真實情形的做法，將算式直觀化.看到算式可以聯想到算式，看到算式也能為學生提供解決此類問題的抓手，培養了學生的實踐性思維能力.

三、以“數形結合”，培養創造性思維能力

創造性思維就是利用已有的知識、經驗、思維把表面看來互不相關的事情連接在一起，用以創造性地解決新問題.創造思維能力的養成需要經過創造、設計、想象、假設、發明、展示、預測等思維活動.在教學中教師可以利用數形結合思想，運用多元構形、聯系對比等方法，培養學生的創造性思維能力.

(一)多元構形 輔助創造思維

創造性思維能力就是對新的數學問題，通過觀察，能夠準確把握問題的具體特征，轉化成對應的圖形，從而分析、理解，創造性地解決問題.

通過畫圖，問題直觀形象，避免了煩瑣的計算，而且結果準確易得.多元構“形”深刻體現了數與形之間的內在聯系，學生借助正方形的“形”把加法轉化成減法，借助圓和線段圖的“形”體會隨著加數的增加，結果越來越接近整個圖形(單位“1”)的極限思想.學生在課堂中能夠基于原有知識，用不同的圖形構建單位“1”，并進行深入探究，都得到了不同的結果，在匯報小組結果的過程中進行交流、分析、評價，讓學生的創造性思維得到發展.

(二)聯系對比 培育創新思維

解決幾何圖形的問題離不開數和算式,有時僅憑直觀觀察看不出特征和規律,需要借助運算的過程和結果,進行觀察、分析,發現本質規律.教師在課堂上要重視方法的傳遞和提升.數學的學習方法不是教師講清楚、講明白，關鍵需要學生通過觀察、操作、思考、討論、探究一系列的學習活動，自己領悟出來.

如圖3，兩個正方形的邊長都是6厘米.

(1)圓的半徑是多少厘米？

(2)兩個正方形里圓的面積各是多少？各占正方形面積的百分之幾？

(3)如果像這樣在正方形里畫9個相同的盡量大的圓，這9個圓面積的和占正方形面積的百分之幾？你發現了什么？

圖3

此題通過數據計算，學生可以很快得出結論：在同一個正方形里，無論畫幾個圓，圓的面積之和都占正方形面積的78.5%.如果僅僅停留在數據證明、圖形觀察階段，學生會發現，圓的個數只能是1，4，9…等完全平方數.教師引導啟發：“請小組內每個同學剪一個正方形，一起合作拼一拼，看看有什么發現？”學生們首先按照書上的圖形動手操作，用四個小正方形拼成一個大正方形.由于有上圖的知識，學生可以進行合情推理，4個圓的面積和、9個圓的面積和，與大正方形的面積比都具有78.5%的關系.教師繼續追問：“圓的個數一定是n2個嗎？”學生把重點放在圓的個數上再次開始探究.很快學生得出結論:解決這類問題，采用分割法，只要能依據圓把正方形分成若干個小正方形，那么小圓的面積和就是小正方形面積和的78.5%.這樣正方形內圓的個數就不一定是n2個.

圖4

綜上所述，數形結合是解決問題過程中具體直觀的“形”與概括抽象的“數”相互作用、相互轉化的體現，這種結合可以促進小學生形象思維和抽象思維的協同發展.數學教學中滲透數形結合，有助于培育學生分析性思維能力、實踐性思維能力、創新性思維能力，從而促進提升高階思維能力.