類比法在高等數學教學中的應用體會

◎李子萍 費秀海 (滇西科技師范學院，云南 臨滄 677000)

高等數學課程是高等學校理工科類和經管類各專業學生必修的一門重要的基礎課和工具課.通過本課程的學習，為學生學習后續的專業課程、消化理解專業知識、解決實際問題、提高自學能力提供必需的數學基礎知識及常用的數學方法.因此，教師要重視各專業的高等數學教學.高等數學課程的特點是：內容多，覆蓋面廣，教學時數少，難度大.所以，如何提高學生學習的積極性、如何提高教學質量就是高等數學任課教師不斷要探索的問題.通過幾年的教學實踐，筆者認為在高等數學課程中恰當運用類比法實施教學有助于揭示高等數學新舊知識間的相互聯系，幫助學生正確理解高等數學基本概念、掌握計算方法，提高學生的學習興趣，從而提高高等數學教學的實效性.

所謂類比教學法就是利用類比方式進行教學，即在教學過程中把新知識與記憶中結構相類似的舊知識聯系起來，通過類比，從已知對象具有的某種性質推出未知對象具有的相應性質，從而尋找解決問題的途徑.在高等數學教學中運用類比法，可以使學生通過新舊知識之間的聯系，比較容易地掌握高等數學課堂教學的內容.同時，運用類比法實施教學對于激發學生的學習動機，幫助學生理解高等數學中的抽象概念，發展學生的求異性思維，形成良好的數學思維，以及培養學生的學習主動性都具有重要意義.

以下結合筆者自身教學實踐，對類比法在高等數學教學中的應用進行一些探討.

1 類比法應用于高等數學概念教學

在高等數學教學中，概念教學是難點.在進行高等數學概念教學時，教師可把相同或相似的數學概念進行類比，引導學生確定新舊知識間的異同點及各自的本質屬性.學生通過聯想，類比發現內涵相同或相容概念間的相似處，從而進行由此及彼地推理，會收到舉一反三的效果.在導數與微分、最值與極值、拉格朗日中值定理與羅爾中值定理以及柯西中值定理、不定積分與定積分等概念的教學中都可以運用類比教學法.例如：在學習連續、左連續、右連續概念時就可以與極限、左極限及右極限概念進行類比；學習導數、左導數以及右導數概念時又可以與連續、左連續、右連續概念進行類比.通過類比法，引導學生對比分析幾個概念的內涵，使學生抓住概念的本質，把舊知識遷移到新知識上，從而準確理解新概念.

采用類比法時既要闡明問題的共同點更要指出它們的不同點.例如：對于三個微分中值定理，通過類比教學，得出拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一個特例，再進一步得出羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特例.再比如對于微分幾何意義的學習，教師可與導數的幾何意義進行類比實施教學，先引導學生復習導數的幾何意義，由導數與微分的關系引出微分的幾何意義，聯系新舊知識，比較出兩者的區別與聯系，從而讓學生更好地理解微分幾何意義這一新知識.又如，對于不定積分概念的學習，教師可類比導數概念進行教學，通過聯系前后知識，得出不定積分與導數互為逆運算，從而讓學生了解不定積分定義的來龍去脈，將概念理解化難為易.如此通過使用類比法實施教學，不僅能使學生更好地理解新概念，更重要的是在類比教學過程中提高了學生的知識遷移能力，培養了學生的邏輯思維能力，使學生形成良好的數學思維.

2 類比法應用于極限計算教學

3 類比法應用于不定積分計算教學

積分運算是高等數學學習中的重要運算之一.而積分運算又比較靈活，學生難以把握解題的技巧.定積分的計算又是在不定積分計算基礎上進行的，所以，教師要把不定積分的計算方法和技巧講透.在不定積分計算教學中，教師首先可針對不定積分教學內容的課時進行細致安排，確保學生能夠充分認識到有關不定積分計算的基本內容.在此基礎之上，從性質、計算方法以及特征等多個方面入手，以類比法為主要手段，引導學生自主認識到有關不定積分計算知識點的基本內容.教師運用類比法進行不定積分的計算教學，可按照如下方法實施：

第一步：類比被積函數的類型：若被積函數為和差關系，則可用積分運算法則和積分公式進行計算；若被積函數為乘積或商的關系，則需通過對被積函數進行等量變換轉換為和差關系，再利用積分運算法則和積分公式進行計算.

第二步：用類比法對積分方法進行選擇：若被積函數為乘積關系，且為兩個不同類型的函數之積，則可用分部積分法進行積分計算；若被積函數含有根號，則可選用第二換元法進行積分計算；其他情形則考慮用第一換元法或有理函數積分法進行積分計算.

分析此題被積函數雖為兩個不同類型的函數之積，但經觀察比較，被積函數中所含的冪函數次數相差一次，把x“壓”到dx中，次數剛好增加一次，能夠使“里外”達到統一，就可利用湊微分進行積分計算.

通過對例3和例4的比較，對于學生掌握不定積分的計算方法，使各種不同題型的積分運算在頭腦中清晰地聯系起來，能起到積極的作用.

4 結 語

總之，類比法在高等數學教學中的應用很廣,教師在高等數學教學中要多運用類比法實施教學.在高等數學教學中運用類比法，能把學生不容易理解的新知識通過與之有相似之處的舊知識相類比，使新知識變得容易理解.同時，通過類比法實施教學，還有助于學生類比思維能力的發展，在知識遷移中，提高學生發現問題、處理問題和解決問題的能力，也提高學生學習高等數學的積極性，從而提高高等數學的教學質量.