黎曼函數在數學分析反例教學中的應用

◎陳賢峰 (上海交通大學數學科學學院，上海 200240)

1 引 言

《數學分析》是高等院校數學與應用數學、信息與計算科學、統計學等專業必修的一門基礎課程，對學生素質的訓練和培養起著十分重要的作用.但由于其內容抽象，概念多，教學效果往往不太理想.對如何做好《數學分析》教學，文獻[1-3]做了深入研究.筆者擔任理科數學分析、工科數學分析主講教師多年，深刻理解如何讓學生真正“懂得”數學分析，其中反例教學是一個有效的抓手，通過記住幾個特殊函數的性質，通過實例對幾組重要數學概念進行對比，從而實現準確理解，并做到學以致用，黎曼函數是一個完美的實例.黎曼函數有著豐富的性質[4-6],本文將對此加以歸納和拓展，通過介紹黎曼函數在《數學分析》反例教學中的應用，發現各概念之間的差異，幫助學生更好地理解和應用相關概念.

2 黎曼函數是理解大學數學與中學數學研究對象不同的一個重要實例

中學階段研究的函數都是初等函數，它的性質(奇偶性、周期性、單調性、有界性)及圖形都比較簡單，大學數學研究的函數比較抽象，很多性質無法直觀展現，比如黎曼函數R(x)：

例1設

證明:f(x)在每一個點x上，它的值是有限的，但不是局部有界的(即在該點的任一鄰域內是無界的).從而表明f(x)在R的任意子區間上是無界的.

3 黎曼函數可以加強理解函數連續與可導之間的關系

函數的連續與可導從定義上看非常簡單，但對初學者來說，容易從幾何直觀中得出一些結論，如函數一般都存在連續區間、總有可導點等等，但事實未必如此，例如，黎曼函數R(x)有無數個連續點(無理點處都連續)，但不存在連續區間，同時沒有一個可導點，即處處不可導.若將黎曼函數改造為前面的f(x)，可得到一個處處不連續、處處不可導的函數.

例2證明R(x)在[0,1]上處處不可導.

設x0∈(0,1)為無理點，考慮

于是

更進一步，存在這樣一個處處連續、處處不可導函數的例子[7]，處處不可導的證明與本題類似.

4 黎曼函數可以加深理解處處取得極值函數與常值函數的聯系與區別

極值是數學分析中很重要的概念，在實際應用中經常出現，它表示函數在一點附近局部最高或局部最低.學生在學習中會有一個疑問：處處取得極值函數是不是一定是常值函數？黎曼函數給出了回答.

例3黎曼函數R(x)在R上處處取得極值，在有理點處取得嚴格極大值，在無理點處取得極小值.

任取無理數x0，則對?x∈R，R(x0)=0≤R(x)，表明x0為R(x)的極小值點.

注 可以證明：一個定義在R上的函數，如果處處取極大值或處處取極小值，它是一個常值函數.

5 黎曼函數是理解不定積分與定積分聯系與區別的一個好例子

函數黎曼可積性是《數學分析》學習中的一個難點，一般教材中都談到常見的三類可積函數：閉區間上的連續函數，僅有有限個間斷點的有界函數，閉區間上的單調函數，結論比較直觀，函數圖形都可以想象，但可積函數類還有很多，有些圖形無法想象，比如黎曼函數，它有無窮個間斷點，圖形也畫不出來，但黎曼函數在[0,1]上是黎曼可積的.下面給出證明：

例4證明R(x)在[0,1]上黎曼可積.

由函數可積性充要條件[8]知，R(x)在[0,1]上定積分存在.

注1 黎曼函數在[0,1]上可積性是勒貝格定理[9]最好的應用實例.

注3 連續函數的復合是連續函數，可導函數的復合是可導函數，但是可積函數的復合卻未必是可積函數，下面利用黎曼函數，構造反例如下：

令

由于f(x)在[0,1]上只有一個間斷點且有界，故f(x)在[0,1]上可積，注意到復合函數

由迪利克雷函數在[0,1]上不可積，知復合函數f(g(x))不是可積的.

6 結 論

《數學分析》概念抽象，通過利用黎曼函數，采用反例教學法，加強對概念之間的聯系與區別的分析，達到準確掌握和熟練應用的效果.