伏安法測電阻實驗的改進及誤差分析

張曉燕，牛中明，諶正艮，李 剛

（安徽大學物理與材料科學學院，合肥230601）

電阻是電學中的基本物理量，其測量方法有很多，如伏安法和電橋法等[1]。相比其他方法，伏安法測電阻實驗電路簡單，使用方便，是一種廣泛采用的電阻測量方法。該方法利用歐姆定律估算電阻的阻值，因此有助于加深學生對歐姆定律的認識，已成為物理教學中的基本電學實驗之一。

在伏安法測電阻實驗中，利用電壓表測出待測電阻兩端的電壓值U，電流表測出流過待測電阻的電流值I，利用歐姆定律R=U/I求出待測電阻的阻值R。但在實際測量電路中，按電流表的接線位置，分為內接法和外接法兩種方式，實驗電路如圖1所示。對于內接法，電流表測出流過待測電阻的電流I，而電壓表給出待測電阻和電流表串聯后的總電壓UR+UA；對于外接法，電壓表測出待測電阻兩端的電壓U，而電流表給出待測電阻和電壓表并聯后的總電流IR+IV。因此，內外接法的測量值分別為電阻和電流表內阻之和R+RA，以及電阻和電壓表內阻并聯值R·RV/(R+RV)。在電表內阻未知的情況下，其對測量結果的影響不可避免，由此導致的誤差稱為系統誤差。因此，為了減小電表內阻對結果的影響，當待測電阻阻值較大時，一般采用內接法；當待測電阻阻值較小時，一般采用外接法。對于較大較小的標準以及誤差分析，也進行了詳細的通論，有很多評判標準[2]。

圖1 伏安法測電阻電路圖（左右圖分別對應內接法和外接法）

為了避免電表內阻對測量結果的影響，已提出電橋平衡法、電路補償法和等效替代法等，并基于這些方法，詳細討論了如何減小電阻測量的系統誤差[3]。然而，這些方法的測量電路一般較為復雜，實驗操作也相對困難。本文將提出一種不增加測量電路復雜度便可消除電表內阻影響的新方法，并利用Origin軟件進行數據分析，估算待測電阻的阻值及其不確定性，最后通過與標準值進行對比以驗證方法的可靠性。

1 實驗原理

設待測電阻、電流表內阻和電壓表內阻分別用R、RA和RV表示，由上面的討論可知，內接和外接法得到的電阻測量值Ri和Re分別為

如果實驗中采用內接和外接法測量兩個電阻R1和R2的阻值，由公式（1）和（2）可得

其中，R1i和R1e（R2i和R2e）分別為采用內接和外接法得到的電阻R1（R2）的測量值，可以由實驗測量的U-I數據確定。由公式（3），即可消除電表內阻對測量阻值的影響，得到被測電阻的阻值

其中 δi=R2i-R1i，δe=R2e-R1e.

2 結果

為了驗證新提出方法的可靠性，本實驗將采用標準值為100 Ω和200 Ω的電阻進行測量。實驗所使用電源的輸出電壓為8 V，電流表和電壓表的準確度等級均是0.5，量程分別為75 mA和7.5 V，因此，測量電流和電壓的儀器誤差限分別為0.375 mA和0.037 5 V。

實驗中，調節滑動變阻器，改變被測電阻兩端電壓，采用內接法和外接法對兩只待測電阻各測量30組U-I數據，圖2給出了100 Ω電阻（上圖）和200 Ω電阻（下圖）對應的內接和外接法的伏安特性曲線。

圖2 內接和外接法測量的100 Ω電阻和200 Ω電阻的伏安特性曲線

為了比較各種方法的可靠性，圖3給出了各種方法得到的電阻測量值與標準值之差。因電表內阻未知，圖中內接和外接法的測量誤差僅包括統計誤差，未考慮系統誤差。

圖3 不同方法得到的電阻測量值與標準值之差

從圖3可見，內接法在誤差范圍內與標準值相吻合，而外接法的結果與標準值相差較大，即使在3倍的誤差范圍內都無法與標準值吻合，這說明本實驗所采用的兩個待測電阻的阻值都相對較大，使用外接法會引起很大的系統誤差。與此相比，使用本文提出的新方法，可以消除系統誤差的影響，最終結果與標準值非常接近。盡管該方法估算的誤差比內接和外接法略大，但是由于已經消除了電表內阻的影響，并按照誤差傳遞公式估算了所有測量誤差對最終結果誤差的貢獻，因此給出了更為全面的誤差估計，測量結果在誤差范圍內與標準值完全吻合。

3 結論

伏安法測電阻實驗的測量結果會受到電表內阻的影響，甚至造成較大誤差，從而影響伏安法測量電阻的可靠性。本文提出了一種不增加測量電路復雜度便可消除電表內阻影響的新方法，采用標準值為100 Ω和200 Ω的電阻進行測試，利用Origin軟件進行數據分析，估算了待測電阻的阻值及其不確定性。結果發現，測量結果在誤差范圍內與標準值完全吻合，驗證了該方法的可靠性。