含參數的一元二次不等式解法探討

■胡 磊

解含參數的一元二次不等式一直是高中數學的一個難點。同學們在解這類問題時,要么“會而不對”,要么“對而不全”。那么如何能夠“接地氣”地突破這個難點? 現以一些基本例題進行分析、探討,歸納出含參數的一元二次不等式的解題技巧。

一、直接因式分解

例1解關于x的不等式x2-(3m+1)x+m(2m+1)<0。

解:x2-(3m+1)x+m(2m+1)=(x-m)(x-2m-1)<0。

當m>2m+1,即m<-1時,解集為(2m+1,m);

當m<2m+1,即m>-1時,解集為(m,2m+1);

當m=2m+1,即m=-1時,此不等式無解。

評析:分類討論的緣由就是“不確定”。在無法回避“不確定”的條件下,分類討論也就成為必然之選。

二、不能因式分解

例2解關于x的不等式(m+1)x2-4x+1≤0(m∈R)。

解:由(m+1)x2-4x+1≤0(m∈R),可對m進行分類討論求解。

當m>3 時,方程(m+1)x2-4x+1=0 無 解,即 原不等式的解集?;

當m=3 時,原不等式為4x2-4x+1≤0,可得原不等式的解集為。

評析:解答這類問題,如果“Δ”恒為非負,或者恒為非正,則直接根據圖像寫出解集;如果“Δ”的符號不確定,則需要分類討論求解集。

三、不等式類型不確定

例3已知關于x的不等式ax2-x+1-a≤0,當a∈R 時,解關于x的不等式。

解:不等式ax2-x+1-a≤0 可化為(x-1)(ax+a-1)≤0。下面對a分類討論求解。

當a=0 時,不等式化為x-1≥0,可得解集為{x|x≥1};

評析:當二次項系數不確定時,要對其進行討論。要注意“Δ”的取值符號以及對根的大小的討論。