聚焦全稱量詞命題與存在量詞命題

■趙 軍

一、全稱量詞命題與存在量詞命題辨析

判斷一個(gè)語句是全稱量詞命題還是存在量詞命題的步驟:先判斷語句是否為命題,若不是命題,就不是全稱量詞命題或存在量詞命題;若是命題,再分析命題中所含的量詞,含有全稱量詞的命題是全稱量詞命題,含有存在量詞的命題是存在量詞命題。

例1(1)現(xiàn)有下列四個(gè)命題:

①至少有一個(gè)x,使x2+2x+1=0 成立。②對(duì)任意的x,都有x2+2x+1=0 成立。③對(duì)任意的x,都有x2+2x+1=0不成立。④存在x,使x2+2x+1=0不成立。

其中是全稱量詞命題的個(gè)數(shù)為( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

(2)判斷下列語句是否為全稱量詞命題或存在量詞命題:

①有一個(gè)實(shí)數(shù)a,a不能取對(duì)數(shù)。②若所有不等式的解集為A,則A?R。③菱形是平行四邊形嗎? ④自然數(shù)的平方是正數(shù)。

思路:關(guān)鍵是要明確各個(gè)命題中分別含有什么量詞,根據(jù)所含量詞來確定是全稱量詞命題還是存在量詞命題。

解析

(1)對(duì)于所給的四個(gè)命題,只有②③含有全稱量詞,應(yīng)選B。

(2)因?yàn)棰俸写嬖诹吭~,所以①為存在量詞命題。“自然數(shù)的平方是正數(shù)”的實(shí)質(zhì)是“任意一個(gè)自然數(shù)的平方都是正數(shù)”,易知②④均含有全稱量詞,即②④為全稱量詞命題,③不是命題。綜上所述,①為存在量詞命題,②④為全稱量詞命題,③不是命題。

感悟:當(dāng)命題中不含量詞時(shí),要注意理解命題含義的實(shí)質(zhì)。一個(gè)全稱量詞(或存在量詞)命題往往有多種不同的表述方法,有時(shí)可能會(huì)省略全稱(存在)量詞,應(yīng)結(jié)合具體問題多加體會(huì)。

二、全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷

全稱量詞命題的真假判斷:要判斷一個(gè)全稱量詞命題是真命題,必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x,驗(yàn)證p(x)成立;要判斷全稱量詞命題是假命題,只要能舉出集合M中的一個(gè)x=x0,使得p(x0)不成立即可。

存在量詞命題的真假判斷:要判斷一個(gè)存在量詞命題是真命題,只要在限定集合M中,找到一個(gè)x=x0,使p(x0)成立即可;否則,這一存在量詞命題就是假命題。

例2指出下列命題中,哪些是全稱量詞命題,哪些是存在量詞命題,并判斷其真假。

(1)在平面直角坐標(biāo)系中,任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)。

(2)存在一個(gè)實(shí)數(shù),它的絕對(duì)值不是正數(shù)。

(3)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有。

(4)菱形的兩條對(duì)角線相等。

思路:判斷命題的真假,可通過舉例的方法來說明。

解析

(1)此命題是全稱量詞命題。在平面直角坐標(biāo)系中,任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的,所以該命題是真命題。

(2)此命題是存在量詞命題。存在一個(gè)實(shí)數(shù)0,它的絕對(duì)值不是正數(shù),所以該命題是真命題。

(3)此命題是全稱量詞命題。存在x=-1,但=1≠-1,可知該命題是假命題。

(4)此命題是全稱量詞命題。所有菱形的兩條對(duì)角線不一定相等,所以該命題是假命題。

感悟:通過“舉反例”可以否定一個(gè)全稱量詞命題,同樣也可以舉例證明一個(gè)存在量詞命題。肯定全稱量詞命題或否定存在量詞命題都需要推理判斷。

三、含有一個(gè)量詞的命題的否定

對(duì)全稱量詞命題和存在量詞命題進(jìn)行否定的步驟與方法:(1)確定類型,是存在量詞命題還是全稱量詞命題;(2)改變量詞,把全稱量詞換為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~,把存在量詞換為恰當(dāng)?shù)娜Q量詞;(3)否定性質(zhì),原命題中“是”“有”“存在”“成立”等改為“不是”“沒有”“不存在”“不成立”等。

例3寫出下列命題的否定,并判斷否命題的真假。

(1)p:不論m取何實(shí)數(shù),方程x2+xm=0必有實(shí)數(shù)根。

(2)q:?x0∈R,使+1=0。

(3)r:等圓的面積相等,周長相等。

(4)s:?x∈R,-x+≥0。

思路:先判斷命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,再寫出它的否定。

解析

(1)該命題可以表述為p:對(duì)所有的實(shí)數(shù)m,方程x2+xm=0有實(shí)數(shù)根。其否定形式為﹁p:存在實(shí)數(shù)m,使方程x2+x-m=0沒有實(shí)數(shù)根。

因?yàn)楫?dāng)Δ=1+4m<0,即m<-時(shí),一元二次方程x2+x-m=0沒有實(shí)數(shù)根,所以﹁p是一個(gè)真命題。

(2)該命題的否定形式是﹁q:?x∈R,x3+1≠0。因?yàn)楫?dāng)x=-1時(shí),x3+1=0,所以﹁q是一個(gè)假命題。

(3)該命題的否定形式是﹁r:存在一對(duì)等圓,其面積不相等或周長不相等。由平面幾何知識(shí)可知,﹁r是一個(gè)假命題。

(4)該命題的否定形式是﹁s:?x0∈R,使-x+<0。因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí),-1+=-<0,所以存在x0,使-x+<0成立,所以﹁s是一個(gè)真命題。

感悟:含有一個(gè)量詞的命題的否定中,全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,存在量詞命題的否定是全稱量詞命題。注意有些原命題無關(guān)鍵量詞,但隱含其含義,要注意認(rèn)真辨析。

四、全稱量詞命題與存在量詞命題的應(yīng)用

全稱量詞命題的常見題型是“恒成立”問題,全稱量詞命題為真時(shí),意味著命題對(duì)應(yīng)的集合中的每一個(gè)元素都具有某種性質(zhì),所以可以代入求解,也可以根據(jù)函數(shù)等知識(shí)來解決。

含有存在量詞的命題叫作特稱命題。特稱命題的常見題型是以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述。解答這類問題,一般要先對(duì)結(jié)論作出肯定存在的假設(shè),然后從肯定的假設(shè)出發(fā),結(jié)合已知條件進(jìn)行推理證明,若推出合理的結(jié)論,則存在性隨之解決;若導(dǎo)致矛盾,則否定了假設(shè)。

例4若命題“?x∈(3,+∞),x>a”是真命題,則a的取值范圍是____。

思路:對(duì)于任意x>3,都有x>a恒成立。

解析

對(duì)于任意x>3,x>a恒成立,即大于3的數(shù)恒大于a,所以a≤3,即a的取值范圍是(-∞,3]。

感悟:由于x>3,所以要使x>a恒成立,a=3也滿足條件。

感悟與提高

1.命題“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )。

A.?x∈R,?n∈N*,使得n

B.?x∈R,?n∈N*,使得n

C.?x∈R,?n∈N*,使得n

D.?x∈R,?n∈N*,使得n

提示:原命題是全稱命題,其否定應(yīng)為特稱命題。其否定形式應(yīng)為?x∈R,?n∈N*,使得n

2.命題“存在x∈R,使x2+ax-a<0”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____。

提示:命題“存在x∈R,使x2+ax-a<0”為假命題,即x2+ax-a≥0恒成立,所以Δ≤0,即a2+4a≤0,解得-4≤a≤0。故實(shí)數(shù)a∈[-4,0]。