魅力無限的子集與真子集

■史培喜

集合的子集與真子集的考試題型較多,主要分為三類:判斷集合間的關系;求一個集合的子集與真子集的個數;利用兩個集合間的關系求參數的值或取值范圍。下面舉例分析,供大家學習與提高。

一、集合間關系的判斷

判斷集合關系的三種方法:觀察法,一一列舉進行觀察判斷;元素特征法,先確定集合的元素是什么,再利用集合元素的特征進行判斷;數形結合法,利用數軸或Venn圖進行判斷。

例1已知集合M={x∈Z|-

A.P={-3,0,1}

B.Q={-1,0,1,2}

C.R={y∈Z|-π

D.S={x∈N||x|≤}

解:易得集合M={-2,-1,0,1},集合R={-3,-2},集合S={0,1}。不難發現集合P中的元素-3?M,集合Q中的元素2?M,集合R中的元素-3?M,而集合S={0,1}中的元素都在集合M中,所以S?M。應選D。

例2指出下列各對集合之間的關系。

(1)集合A={x|x是等邊三角形},集合B={x|x是等腰三角形}。

(2)集合M=,集合N=。

(3)集合A={x|x2-x=0},集合B={x∈R|x2+1=0}。

解:(1)由于等邊三角形是三邊相等的三角形,等腰三角形是兩邊相等的三角形,故AB。

(2)對于集合M,其組成元素是,分子部分表示所有的整數;對于集合N,其組成元素是,分子部分表示所有的奇數。由真子集的概念知,NM。

(3)因為A={x|x2-x=0}={0,1},B={x∈R|x2+1=0}=?,所以BA。

二、判斷集合的子集與真子集的個數

求解有限集合的子集問題要注意兩點:合理分類,按照子集所含元素的個數依次寫出;不要忽視兩個特殊集合,即空集和集合本身。一般地,若集合A中有n個元素,則其子集有2n個,真子集有(2n-1)個,非空真子集有(2n-2)個。

例3集合P={3,4,5},Q={6,7},定義P*Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},則P*Q的子集個數為( )。

A.7 B.12

C.32 D.64

解:由新定義可得集合P*Q中的元素為(3,6),(3,7),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7),共6個,所以P*Q的子集個數為26=64。應選D。

例4設集合B是集合An={1,2,3,…,3n-2,3n-1,3n},n∈N*的子集。記B中所有元素的和為S(規定:B為空集時,S=0)。若S為3的整數倍,則稱B為An的“和諧子集”。

求:(1)集合A1的“和諧子集”的個數。

(2)集合A2的“和諧子集”的個數。

解:(1)依題意可得集合A1={1,2,3}的子集為?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}。其中所有元素和為3 的整數倍的集合為?,{1,2},{3},{1,2,3},所以A1的“和諧子集”的個數等于4。

(2)A2={1,2,3,4,5,6}。考慮到1+2=3,4+5=9,1+5=6,2+4=6,則A2的“和諧子集”分以下5類:①含1和2,不含4,5,此時把1和2看作一個整體,與3,6 組成一個新的“三元素”集,其子集有23個。②含4和5,不含1,2,同①有23個子集。③含1和5,不含2,4,同①有23個子集。④含2和4,不含1,5,同①有23個子集。⑤1,2,4,5均含,此時把1,2,4,5看作一個整體,與3,6組成一個新的“三元素”集,其子集有23個。其中?,{3},{6},{3,6}多計算4次,故A2的“和諧子集”共有的個數為5×23-4×4=24。

三、由集合間的關系求參數的值或取值范圍

已知兩集合的關系求參數,關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系,進而轉化為參數滿足的關系。解決這類問題要合理利用數軸、Venn圖幫助分析,要對參數進行討論,要注意區間端點值的取舍。當題目中有條件B?A時,不要忽略B=?的情況,還要注意驗證端點值,做到準確無誤。

例5設集合A={-1,1},B={x|x2-2ax+b=0},若B≠?且B?A,求實數a,b的值。

解:因為集合B中的元素是關于x的方程x2-2ax+b=0的根,且B?{-1,1},所以關于x的方程x2-2ax+b=0 的根只能是-1或1,且要注意方程有兩個相等根的條件是Δ=0。

因為B={x|x2-2ax+b=0}?A={-1,1},且B≠?,所以B={-1}或B={1}或B={-1,1}。

當B={-1}時,由Δ=4a2-4b=0 且1+2a+b=0,解得a=-1,b=1;當B={1}時,由Δ=4a2-4b=0且1-2a+b=0,解得a=b=1;當B={-1,1}時,由(-1)+1=2a,(-1)×1=b,解得a=0,b=-1。

綜上可知,a=-1,b=1或a=b=1 或a=0,b=-1。

例6已知三個集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-bx+2=0},同時滿足BA,C?A的實數a,b是否存在? 若存在,求出a,b的所有值;若不存在,請說明理由。

解:A={x|x2-3x+2=0}={1,2}。

因為B={x|x2-ax+a-1=0}={x|(x-1)[x-(a-1)]=0},所以1∈B且B≠?。又BA,所以a-1=1,即a=2。

因為C={x|x2-bx+2=0},且C?A,所以C=?或C={1}或C={2}或C={1,2}。當C={1,2}時,b=3;當C={1}或C={2}時,由Δ=b2-8=0,可得b=±,此時x=±,與C={1}或C={2}矛盾;當C=?時,由Δ=b2-8<0,可得-2

綜上可知,存在a=2,b=3 或-2

感悟與提高

1.已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx-1=0},且A∩B=B,求實數m所構成的集合M,并寫出M的所有子集。

提示:由題意可得,A={2,3}。由A∩B=B,可知B?A,所以B=?或B={2}或B={3}。當B=?時,由方程mx-1=0無解,可得m=0;當B={2}時,由2 為方程mx-1=0的解,可得m=;當B={3}時,由3為方程mx-1=0 的解,可得m=。故集合M=,所以M的所有子集為?,{0},,

2.設集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1

提示:易得集合A={x|-2≤x≤5}。當m≤-2 時,B=??A;當m>-2 時,B={x|m-1