全稱量詞與存在量詞問題導(dǎo)學(xué)

■徐彩娥

學(xué)問學(xué)問,邊學(xué)邊問。遇到問題,不恥下問。那么在全稱量詞與存在量詞中,我們會(huì)遇到哪些問題呢?

問題一:什么是全稱量詞與存在量詞

全稱量詞及表示:表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞。例如:“所有”“任意”“每一個(gè)”等。通常用符號(hào)“?x”表示,讀作“對(duì)任意x”。如命題:“對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有x2≥0”可表示為“?x∈R,x2≥0”。

存在量詞及表示:表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞。例如:“有一個(gè)”“存在一個(gè)”“有”“有些”等。通常用符號(hào)“?x”表示,讀作“存在x”。如命題:“存在有理數(shù)x,使x2-2=0”可表示為“?x∈Q,x2-2=0”。

問題二:什么是全稱量詞命題與存在量詞命題

全稱量詞命題:含有全稱量詞的命題稱為全稱量詞命題,一般形式為:“?x∈M,p(x)”。其中M為給定的集合,p(x)是關(guān)于x的命題。

存在量詞命題:含有存在量詞的命題稱為存在量詞命題,一般形式為:“?x∈M,p(x)”。其中M為給定的集合,p(x)是關(guān)于x的命題。

問題三:如何判斷全稱量詞命題與存在量詞命題的真假

要判斷一個(gè)存在量詞命題為真,只要在給定的集合中,找到一個(gè)元素x,使命題p(x)為真,否則命題為假。要判斷一個(gè)全稱量詞命題為真,必須對(duì)給定的集合中的每一個(gè)元素x,命題p(x)都為真,但要判斷一個(gè)全稱量詞命題為假,只要在給定的集合中,找到一個(gè)元素x,使命題p(x)為假即可。

例1判斷下列命題的真假:(1)?x∈R,x2>x;(2)?x∈R,x2>x;(3)?x∈Q,x2-8=0;(4)?x∈R,x2+2>0。

解:(1)因?yàn)楫?dāng)x=2 時(shí),x2>x成 立,所以“?x∈R,x2>x”是真命題。

(2)因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),x2>x不成立,所以“?x∈R,x2>x”是假命題。

(3)因?yàn)槭箈2-8=0成立的數(shù)只有x=,但它們都不是有理數(shù),所以“?x∈Q,x2-8=0”是假命題。

(4)因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x,都有x2+2>0成立,所以“?x∈R,x2+2>0”是真命題。

問題四:如何書寫全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

1.書寫命題的否定時(shí),一定要抓住決定命題性質(zhì)的量詞,從對(duì)量詞的否定入手,書寫命題的否定。

例2判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并寫出它們的否定。(1)p:對(duì)任意的x∈R,x2+x+1=0 都成立。(2)q:?x∈R,x2+2x+5>0。

解:(1)是全稱量詞命題。由于“任意的”否定為“存在一個(gè)”,因此,﹁p:?x∈R,使x2+x+1≠0成立。

(2)是存在量詞命題。由于“存在一個(gè)”的否定為“任意一個(gè)”,因此,﹁q:?x∈R,x2+2x+5≤0。

2.書寫命題的否定時(shí),一定要注重理解數(shù)學(xué)符號(hào)的意義。有些數(shù)學(xué)符號(hào),表面上看比較熟悉,如x∈R,很多同學(xué)會(huì)認(rèn)為其否定是x?R。其實(shí),x∈R 表示x是任意實(shí)數(shù),其否定應(yīng)是x不是任意實(shí)數(shù)。

例3由命題“存在x0∈R,使+2x0+m≤0”是假命題,求得m的取值范圍是(a,+∞),則實(shí)數(shù)a的值是_____。

解:由命題“存在x0∈R,使+2x0+m≤0”是假命題,可知命題“?x∈R,x2+2x+m>0”是真命題,故Δ=22-4m<0,即m>1,可知a=1。