特殊的集合
——空集

■張付坤

集合是現代數學的理論基礎,它是高中數學中一個重要的概念,與數學中的其他知識都有著緊密的聯系。它作為一種語言、一種工具、一種思想方法已經滲透到其他學科的方方面面。空集是一個非常特殊的集合,下面舉例剖析空集及其性質,進而深入認識這一特殊集合。

一、全方位解讀空集的概念

1.空集是不含任何元素的集合,用符號“?”表示。

2.?與{?}的關系:?中沒有任何元素,而{?}是只含有一個元素?的集合,所以?∈{?}。規定:空集是任何集合的子集,所以??{?}。因為空集是任何非空集合的真子集,所以?{?}。這是一個有趣的現象,我們可以用∈、?和中的任意一個將?和{?}連接起來,唯獨不能用“=”連接?和{?}。

3.?和{0}的關系:{0}是只含有一個元素0的集合,{0}和?都是集合,但不相等,根據空集的規定有??{0},?{0}。

4.?和0的關系:0是一個數,可以作為集合的一個元素,即0??。

例1已知A∩B=?,集合M={x|x是A的子集},N={y|y是B的子集},則( )。

A.M∩N=?

B.M∩N={?}

B.M∩N=A∩B

D.M∩N=A?B

解:因為A∩B=?,??A,??B,集合M,N中的元素都是集合,所以?∈M,?∈N,所以M∩N={?}。應選B。

二、集合運算中的空集

例2已知集合A={t|t2+4t+4=0},集合B={m|m2+2(a+1)m+a2-1=0},其中a∈R,如果A∩B=B,求實數a的取值范圍。

解:由t2+4t+4=0,可得t=-2,則集合A={-2}。由A∩B=B,可知B?A。下面對集合B分兩種情況討論求解。

當B=?時,方程m2+2(a+1)m+a2-1=0 無 解,由Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,可得a<-1;當B≠?時,B={-2},即方程m2+2(a+1)m+a2-1=0只有一解是-2,則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,當a=-1時,B={0},不合題意。

故實數a的取值范圍是(-∞,-1)。

例3已知集合M={x|-2≤x≤5},N={y|m+1≤y≤2m-1},滿足N?M,求實數m的取值范圍。

解:由N?M,可對N分兩種情況討論求解。當N=?時,由m+1>2m-1,解得m<2;當N≠?時,由解得2≤m≤3。故實數m的取值范圍是(-∞,3]。

三、子集個數中的空集

例4已知集合A={2a-1,a2,0},B={1-a,a-5,9},且A∩B={9},寫出集合A的所有真子集。

解:由集合元素的互異性得2a-1=9或a2=9,則a=±3或a=5。

當a=3 時,集合A={5,9,0},B={-2,-2,9},這時不滿足集合元素的互異性;當a=5 時,集合A={9,25,0},B={-4,0,9},此時A∩B={0,9},不合題意;當a=-3時,集合A={-7,9,0},B={4,-8,9},滿足A∩B={9}。

故集合A={-7,9,0}的所有真子集為?,{-7,},{9},{0},{-7,9},{-7,0},{9,0}。