核心素養導向下的深度學習教學探究

李愛瓊

摘 要：本文從高三《三角恒等變換》復習入手，圍繞三角恒等變換這個學習主題，對教學情境進行深度分析，從方程與函數角度探究了三角恒等變換問題，并總結出求三角函數最值的方法，培養學生化歸與轉化、數形結合、函數與方程思想，凸顯數學核心素養，提升學生問題解決能力，最終實現學生的發展。

關鍵詞：三角恒等變換;深度學習;核心素養

深度學習不僅要了解知識點，更要通過知識點的規律不斷思考、舉一反三的挖掘出更多知識點，深度學習除了促進學生思維發展，更應該是為了立德樹人，體現學科育人價值，突出核心素養，實現五育并舉。這與我們的新課標和新高考是非常契合的。基于價值引領、素養導向的數學教學，要思考“數學教學究竟要給學生什么”，課堂上除了知識記憶和解題訓練，更要通過典型的深度活動來加工學習對象，把握知識的本質，最終實現學生的發展。下面筆者結合高三教學案例《三角恒等變換》，從一題多解、一題多變及函數與方程角度探究了三角恒等變換問題，引導學生對學習對象進行深度加工，進行深度學習探究，以期達到學生數學核心素養的培養。

一、深度解讀教材、把握知識內核

三角函數是高考重點考查內容之一，三角恒等變換的考查，常以選擇填空形式出現，還常在解答題中與其他知識結合起來考查，在考查三角知識的同時又考查函數與方程思想、數形結合思想解決問題的能力。本節課通過例題分析解答，能運用三角函數各種公式進行恒等變換及解決綜合性問題，從而加深理解變換思想，提高學生的推理能力。

（一）【課程學習目標】

通過例題分析解答，能運用三角函數各種公式進行恒等變換及解決綜合性問題，從而加深理解變換思想，提高學生的推理能力;在解決實際問題的過程中，體驗三角恒等變換的本質是“變換”;在解決實際問題的過程中，體驗“形”與“數”間的關聯。在學生獲取數學知識和掌握數學思想方法的同時，滲透數學核心素養。

（二）【課程導學建議】

教學重點：掌握三角公式間的關系，能運用公式進行恒等變換。教學難點：能靈活運用公式進行三角恒等變換;能力點：三角公式、恒等變形的靈活運用;自主探究點：例題及變式的解題思路的探尋;訓練點：應用三角公式進行恒等變換及數學思想方法的綜合運用;考試點：綜合應用三角變換的知識解決三角問題;易錯點：三角恒等變換;拓展點：從函數與方程角度解決三角恒等變換問題。

二、情境設計與知識建構

（一）問題研討

問題導引：人教版必修4P147B組

1.已知，求值。

法一：由方程組和sin2α+cos2α=1解出sinα，cosα，進一步求解

法二：利用sinα±cosα和sinα·cosα的關系求出sinα+cosα，再由方程組sinα+cosα和sinα-cosα解出sinα，cosα，進一步求解

法三：由求出sin2α，cos2α，進一步求解

【設計意圖】回歸教材，夯實基礎，從方程角度解決三角恒等變換問題

（二）技能應用拓展

1.一題多解、一題多變提供運算通途

一題多解、一題多變在運算中十分普遍，一題多解體現了運算的靈活性，而一題多變通過變換題目的條件或結論，從運用的知識、變換的方式、新的設計角度實現舉一反三。

例1.（2008浙江高考理8）若，則tanα=（ ）

A. B.2 C.- D.-2

法1（方程思想）：由方程組解出sinα，cosα，求出tanα。

法2（化歸思想）：兩邊平方得（cosα+2sinα）2=5，再弦化切化作關于tanα的方程，求出tanα。

法3（歸一法）：由歸一法得再利用輔助角φ與α的關系求出tanα。

法4（化歸思想）法四：由對稱性得（cosα+2sinα）2+（sinα-2cosα）2=5從而sinα-2cosα=0，求出tanα。

法5（函數思想）：設依題意得x=α時，f（x）最小值是。∵，∴∴-sinα+2cosα=0，求出tanα。

【設計意圖】例題分析，從不同角度切入，從而有不同解法。教師分析問題同時提出問題、解決問題，從知識的記憶鞏固到問題探究，從淺層思維到高階思維。

變式1.（2013全國Ⅰ卷理15）設當x=θ時，函數f（x）=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=??????

變式2.若，則=??

【設計意圖】變式1.2均可采用例題五種方法解決，有助于學生從運用的知識、變換的方式、新的設計角度實現舉一反三。

2.回歸本源——三角函數的函數性質

函數思想實質是拋開所研究對象的非數學特征，用聯系和變化的觀點提出數學對象，抽象其數學特征，建立各變量之間固有的函數關系，通過函數性質，利用函數的有關性質使問題得以解決。以函數為主線可以將很多數學內容串起來：函數、三角、數列、不等式等，占高中數學課程的半壁江山。函數思想是高考考查的重點，三角函數是特殊的函數，解題時也可以從函數角度考慮。

例2.（2017全國Ⅱ卷理14）

已知函數的最大值是_______

分析：，

∴當時，f（x）max=1.

【設計意圖】本題以正弦函數、余弦函數為基本函數，構造一個新的函數，求該新函數的最大值。要像例題1用“歸一法”直接化簡合并，不會成功，要利用三角恒等變換配方成二次型函數，應用函數思想得到最大值。

例3.（2018全國Ⅰ卷理16）f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是_____________.

素養分析：

∴cosx≥-1∴令f'（x）=0，有

∴sinx=或-，又定義域為R，將或分別代入f（x）得極小值-，則最小值-。

【設計意圖】本題給出兩個正弦函數的和，利用三角恒等變換解決最值問題。這兩函數次數一樣都是一次，但周期不同，要像例題1用“歸一法”直接化簡合并，不會成功，要應用函數思想求導討論極值點，注意定義域R，開區間上的最值一定是極值，從而得到最大值和最小值。糾正學生思維定式，進一步升華。

3.提能檢測

例4.（2021八省聯考12）設函數則（ ）

A.f（x）=f（x+π）

B.f（x）的最大值為

C.f（x）在單調遞增

D.f（x）在單調遞減

分析：答案AD。定義域為R，

令，則

得，

當時，f'（x）<0，f（x）為減函數。

當時，-3<1+4sin2x<1，∴1+4sin2x<0時，f'（x）>0，1+4sin2x>0時，f'（x）<0。

三、引導學生歸納提升

本節課回歸課本，通過教材一道習題引出例題1和變式1、2，體現函數思想的應用。例題2例題3是二次函數配方法及函數導數應用，糾正學生思維定式，進一步升華。通過一題多解、一題多變，讓學生思維水平在變中得到升華，增強思維的深刻性，并總結出利用三角函數求最值的方法：直接法、歸一法、配方法、函數求導法等。利用函數導數的方法，對含有三角函數的復合函數單調性的研究，函數最值問題的求解，是近幾年高考中的熱門話題，除了可以考查函數導數的運用能力之外，還可以考查三角函數特有的性質。

參考文獻

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[3]金太陽教育研究院.中學學科核心素養通典數學篇.吉林出版集團股份有限公司，2018.4