基于過程性教學的“函數y=Asin(ωx+φ)的圖象”教學設計

董麗平 劉錫光

【摘 要】 數學教學不僅要注重知識性目標的達成，更要關注過程性目標的落實，實現過程性目標需要強調學生自主參與學習過程，經歷數學知識的發生發展過程，并獲得經歷與體驗，由此提升數學核心素養.本文以“函數y=Asin（ωx+φ）的圖象”教學設計為例，分析課堂教學環節如何實現過程性目標，體會數學教學中的過程性意義.

【關鍵詞】 過程性教學;三角函數;教學設計

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質”.數學教學不僅要讓學生掌握知識，還要經歷知識的形成過程，理解知識的本質，提高發現問題、研究問題的能力，這就需要開展“過程性教學”，本文以“函數y=Asin（ωx+φ）的圖象”教學設計為例，旨在研究其教學中的過程性意義.

1 過程性教學的要義

過程性教學是指在數學課堂中落實過程性目標的教學.過程學鼻祖懷特海在《過程與實在》中提出：“實體如何形成的方式構成了實體是什么內容……它的‘存在由它的‘形成性所組成，這就是過程的原則”[1].并且進一步指出：“教學設計的學習目標必須源于對生命價值和意義提升的沖動，其目的是引起和指導思維和思想自由的展開，而具體目標是不可知的，只有這個思維和思想的展開過程是實在的”[2].這種過程性教育思想為教學設計展示了不同的視角.當今的學習心理學也認為，學生的數學學習是基于學生已有認知結構基礎之上的主動建構過程，并且這一過程是一個動態的再創造學習過程.所以，過程性教學揭示了數學發生發展的過程，揭示了人類思維發展的過程，其教學反映學生數學學習的心理過程和認知規律，真正體現了學生數學知識的建構過程.

2 教學設計要素分析

2.1 內容及教學重點

“函數y=Asin（ωx+φ）的圖象”選自北師大版高中數學必修四第一章第八節的內容.是在研究了正、余弦函數的圖象和性質基礎之上，進一步研究生活中常見的函數類型，本節課將學習函數y=Asin（ωx+φ）的圖象及參數A、ω、φ對函數圖象的影響，進一步理解函數圖象變換的本質，是后續學習“三角函數的應用”和“三角恒等變換”的重要基礎與鋪墊.基于以上分析，確立本節課的教學重點為：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象以及參數A、ω、φ對圖象變換的影響.

2.2 學情及教學難點

學生在之前學習中已掌握“五點作圖法”，了解借助單位圓用正弦線作圖的原理，教師也使用過幾何畫板直接作圖.但高一學生抽象概括能力較低，需借助具體事物幫助理解建立模型，抽象概括出圖象變換的規律.學生雖對“左加右減”“上加下減”有粗略的淺顯認識，但要理解函數圖象變換的本質及三個參數對函數圖象的影響且圖象變換方法不唯一，這對學生來說理解掌握起來難度較大.

2.3 教學目標及教學方法

（1）教學目標：

①通過具體勻速圓周運動實例，抽象并建立函數y=Asin（ωx+φ）的數學模型;

②理解A、ω、φ對函數y=Asin（ωx+φ）圖象的影響，經歷y=sinx到y=Asin（ωx+φ）圖象變換的過程，體會化歸和數形結合思想，提升直觀想象和邏輯推理素養;

③通過觀察圖象、代數論證，理解函數圖象變換的本質，通過對問題的自主探究、合作交流，培養獨立思考能力和團結協作的精神.

（2）教學方法：采用探究發現為主，啟發誘導為輔的教學方法.

3 教學過程

3.1 創設情境，建立模型

問題1：現實生活中有哪些周而復始的現象？

問題2：如何用數學的方法來刻畫現實世界中周而復始的現象呢？

選取與學生生活聯系緊密的例子摩天輪作為引入，利用動畫演示摩天輪的轉動，并設置問題：摩天輪半徑為Am（A>0），且按逆時針做勻速轉動，角速度為ωrad/min（ω>0），其圓心到地面的高度為b.當摩天輪上的任一點P運動到某點P0處時開始計時.你能確定x（min）時刻時點P的坐標嗎？

圖1

問題3：圓是刻畫周期性運動最簡潔的數學模型，你還能借助單位圓繼續發揮圓的作用來研究摩天輪問題嗎？如圖1，以摩天輪圓心為原點建立平面直角坐標系，并追問：

①該函數模型的自變量、因變量分別是什么？為什么？

②若要研究摩天輪上某點P的縱坐標y與時間x的關系，你能試著分析出y關于x的一般函數解析式嗎？

設計意圖 過程性教學注重揭示知識的來龍去脈，故以學生熟悉的摩天輪引入，目的在于幫助學生搭建“腳手架”探究出函數y=Asin（ωx+φ）的解析式，體會學習函數y=Asin（ωx+φ）的必要性，感悟其是刻畫自然界周期現象常見的數學模型.

3.2 探究新知，制定策略

經上述探究，讓學生經歷得出y關于x的一般函數解析式為y=Asin（ωx+φ）+b的過程.為了研究的簡便，先研究函數y=Asin（ωx+φ），將其研究清楚后，只要向上平移b個單位即可得到y=Asin（ωx+φ）+b.

問題4：在你以前學習的函數大家庭中，有函數y=Asin（ωx+φ）的“親戚”嗎？

問題5：在y=sinx圖象的基礎上，如何研究函數y=Asin（ωx+φ）的圖象？

在面對多個變量時，要引導學生可采用控制變量法將復雜問題簡單化，接著分小組合作討論，共同制定研究方案，課堂上為了統一意見，將采取由內而外的順序，即先探究參數φ、ω再探究參數A對函數圖象的影響.

設計意圖 過程性教學的一個基本原則是靈活運用已有知識，故引導學生建立起函數y=Asin（ωx+φ）與函數y=sinx的聯系，在實現從未知到已知轉變的同時讓學生在學習過程中體會感悟問題研究的一般方法.

3.3 操作探究，分析模型探究1 探究參數φ對函數圖象的影響

問題6：函數y=sin（x+φ）與函數y=sinx的圖象有什么關系？

函數y=sin（x+φ）不是一個具體的函數，是不能直接畫出其函數圖象的，故引導學生從具體函數出發，用三種方法幫助學生理解參數φ對函數圖象的影響.

1）“五點作圖法”畫具體函數圖象

引導學生選取三個不同的φ（φ1>0、φ2=0、φ3<0）值進行探究，用“五點作圖法”畫出函數y=sinx+π4、y=sinx、y=sinx-π6的圖象，從具體函數的研究中發現規律，從而推廣到一般情況，初步得出函數y=sin（x+φ）的圖象可由函數y=sinx圖象上所有的點向左（φ>0）或向右（φ<0）平移φ個單位得到.

2）幾何畫板動態演示

驗證所得結論是否正確，直觀感受點之間的變化.

3）圖象變換的本質即點的變換

設點P（x，y）為函數y=sinx圖象上任意一點，將點P（x，y）沿x軸向左平移φ（φ>0）個單位，則得點Q（x-φ，y），而點Q（x-φ，y）的坐標滿足函數y=sin（x+φ），故點Q在函數y=sin（x+φ）的圖象上，反之同理.探究2 參數ω對函數圖象的影響（ω>0）問題7：函數y=sinωx與函數y=sinx的圖象有什么關系？

學生思維容易受到前面影響，繼續考慮由y=sinx經過平移得到函數y=sinωx，為了突破難點，讓學生繼續從具體函數入手，經歷動手操作、探究、證明的過程.

1）“五點作圖法”畫具體函數圖象

選取三個不同的ω（ω>1，ω=1，ω<1）值進行探究，如用“五點作圖法”畫出函數y=sin2x，y=sinx，y=sinx2的圖象.通過觀察圖象，發現函數圖象變換并非通過某種平移得來，而是橫坐標之間存在一個倍數關系.

2）幾何畫板演示

用幾何畫板動態演示圖象變換過程，驗證結論.

3）圖象變換的本質即點的變換

設點P（x，y）為y=sinx圖象上的任意一點，將點P（x，y）的橫坐標變為xω，得到點Qxω，y，而點Qxω，y滿足函數y=sinωx，故點Q在函數y=sinωx的圖象上.探究3 探究參數A對函數圖象的影響（A>0）

問題8：函數y=Asinx與函數y=sinx的圖象有什么關系？

探究參數A對函數圖象的影響相比φ、ω容易些，故讓學生依照上述探究參數φ、ω的方法，從具體函數出發探究總結規律，最后教師完善結論.

設計意圖 創設經歷性、體驗性和探究性的數學活動，用三種不同方法加以解釋驗證，讓學生在活動中經歷、體驗、探究數學知識的發生發展過程，領悟其中的規律，深化學生的理性思考.探究4 探究參數簡單復合對函數圖象的影響

研究完三個參數對函數y=Asin（ωx+φ）圖象的影響后，需將三個參數進行整合，即探究函數y=Asin（ωx+φ）的圖象.

下列函數圖象是如何由函數y=sinx的圖象變換得到的？

①y=3sin2x;②y=3sinx-π3;③y=3sin2x-π3.

第①、②小題可以幫助學生理解圖象變換需分步驟，思考后口述說出答案，第③小題動手寫出變換過程，由于圖象變換方法不唯一，容易出錯，故在學生中各找一個正確和錯誤的具有代表性的變換過程，讓學生上黑板板演，展示其解法.

畫出變換后函數的圖象能驗證兩種解法是否正確，根據解法1中圖象上點P仍在變換后所得函數圖象上，而解法2中點P不在變換后所得函數圖象上，故解法2不正確，但學生較難理解其錯誤原因，故用摩天輪問題進行解釋：如圖2，函數y=sin2x表示初始位置在點A處時點P的縱坐標y與時間x的函數關系，函數y=sin2x-π3表示從點A轉動到點P0的縱坐標y與時間x的函數關系，點P從點A轉動到點P0，轉過的角為π3rad，角速度是2rad/min，故轉動的時間為π6min，因此平移量為π6，而不是π3[3].

設計意圖 通過具體函數變換充分暴露學生的思維過程，并從錯誤中發現問題，分析問題，進而解決問題，進一步加深對函數y=Asin（ωx+φ）變換過程的理解.

3.4 鞏固練習，理解知識

例：畫出函數y=3sin2x+π6+1的簡圖，并借助摩天輪模型解釋其實際意義.設計意圖 通過畫函數圖象來鞏固對本節知識的理解，了解模型的實際意義.

3.5 歸納總結，反思提升由學生自己回顧本節課的探究過程，總結函數圖象變換的方法.

設計意圖 過程性教學不僅要關注知識目標，還要關注過程性目標，幫助學生養成良好的學習習慣，善于反思，使本節課的總結成為學生凝練提高的平臺.

3.6 作業布置，拓展深化

（1）函數y=2sin3x-π4的圖象是由y=sinx的圖象怎樣變換得到的？

（2）你能試著探究函數y=Asin（ωx+φ）（其中A<0、ω<0）的圖象嗎？如y=-2sin-2x+π4.設計意圖 作業的布置應成為過程性教學學生新學習的開端，問題的設置在讓學生繼續保持濃厚學習興趣的同時還能檢測學生過程性目標的達成情況.

參考文獻

[1] 阿爾弗雷德·諾思·懷特海著.過程與實在[M].楊富斌譯.北京：中國城市出版社，2003：40.

[2] 阿爾弗雷德·諾思·懷特海著.教育的目的[M].徐汝舟譯.北京：三聯書店，2002：69-72.

[3] 章建躍，李柏青，金克勤，董凱.體現函數建模思想 加強信息技術應用——“函數y=Asin（ωx+φ）”的修訂研究報告[J].數學通報，2015，54（08）：1-8.

作者簡介 董麗平（1998—），女， 江西師范大學數學與統計學院學科教學數學專業在讀研究生.劉錫光，男，江西師范大學《中學數學研究》雜志主編.