平面幾何一題多解問題的探究

摘 要：目前的初中數(shù)學(xué)平面幾何教學(xué)中，存在著練習(xí)量偏大，教學(xué)效果差的不良現(xiàn)象.在初中平面幾何中有許多一題多解問題，可以從不同的角度入手解決這些問題.在平面幾何教學(xué)中有效應(yīng)用這些一題多解問題，可以使用一道題目訓(xùn)練學(xué)生的不同知識體系，激發(fā)課堂教學(xué)的趣味性，提升課堂教學(xué)的效率.本文展示一道典型的初中平面幾何問題，探究了十三種不同的解題方法，以供初中數(shù)學(xué)教師參考.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);平面幾何;一題多解;問題探究

中圖分類號：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2021）26-0002-02

收稿日期：2021-06-15

作者簡介：朱井龍（1982.7-），男，黑龍江省綏化人，本科，中學(xué)二級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

一、一題多解的價(jià)值

如果教師在平面幾何教學(xué)中，注意挖掘和使用一題多解問題，除了可以強(qiáng)化學(xué)生的基礎(chǔ)知識體系外，更重要的是能夠發(fā)散學(xué)生的思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).而且在學(xué)生合作探究一題多解問題時(shí)，還可以發(fā)展他們的合作意識，提升他們的團(tuán)隊(duì)合作能力.下面這道平面幾何問題是典型的一題多解問題，是平面幾何教學(xué)中難得的好例題.

二、例題展示

例 如圖1，已知：BM=MC，∠BAM=∠MDC，求證：AB=CD.

分析 這道題目中的已知條件并不復(fù)雜，圖形結(jié)構(gòu)也比較簡單.但是，此題具有多種解法，每一種解法都針對了不同的知識體系.下面將從不同的角度，以不同方法去探究此題的解法.

三、解法分析

方法1 利用中位線，構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形，證明兩線段相等.

輔助線：如圖2，延長BA交CD于G，取BG中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)MF.

易得MF=AF=AG=DG，所以AB=3AF，CG=2MF=2DG，CD=3DG=3AF，所以AB=CD.

方法2 利用中位線，構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形，由部分相等證明整體相等

輔助線：如圖3，延長BA至E使AE=AB，聯(lián)結(jié)CE，AE與CD交于F，易證AM∥CE，得AF=DF，CF=EF，所以AE=CD，從而證得AB=CD.

方法3 利用中位線，構(gòu)造等腰梯形，通過兩腰相等證明兩線段相等

輔助線：如圖4，延長CD至E使DE=CD，聯(lián)結(jié)BE，因?yàn)镈、M分別是線段CE、CB的中點(diǎn)，

所以DM∥BE，得梯形ADEB，又易證∠E=∠EBA，得等腰梯形ADEB，所以AB=DE=CD.

方法4 利用三角形中位線證明兩線段相等

輔助線：如圖5，聯(lián)結(jié)BD，取BD中點(diǎn)E，AD中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF、EM，因?yàn)锽E=ED，DF=AF，

所以EF∥AB，且EF=12AB，同理可得：EM∥CD，且EM=12CD，所以∠EFM=∠BAM，∠EMF=∠MDC，因?yàn)椤螧AM=∠MDC，所以∠EFM=∠EMF，

所以EF=EM，所以AB=CD.

方法5 由梅氏定理的證明的思想，構(gòu)造平行線，利用比例線段證明線段相等

輔助線：如圖6，延長BA交CD于E，過E作EF∥AM，交MC于F，因?yàn)镈M∥EF，所以DCDE=MCMF，因?yàn)锳M∥EF，所以ABAE=MBMF，因?yàn)椤螧AM=∠DAE=∠ADE，所以AE=DE，又因?yàn)镸C=MB，

所以AB=CD.

方法6 構(gòu)造平行線，利用角平分線性質(zhì)證明線段相等

輔助線：如圖7，過A作AF∥CD，交MC于點(diǎn)F.由AF∥CD，得AFCD=MFMC，即MCCD=MFAF，

由AM平分∠BAF，得ABBM=AFMF，即BMAB=MFAF，因?yàn)镸B=MC，所以AB=CD.

方法7 構(gòu)造平行線，利用角平分線性質(zhì)證明線段相等

輔助線：如圖8，過D作DE∥AB，交CB延長線于E，由DM平分∠EDC，得CDMC=DEME，

由AB∥DE，得ABMB=DEME，因?yàn)镸B=MC，所以AB=CD.

方法8 利用三角形等高不等底，面積之比等于底邊邊長之比

輔助線：如圖9，延長BA交CD于E，聯(lián)結(jié)BD，AC，因?yàn)槿切蜛BD與三角形AED是等高三角形，

得ABAE=S△ABDS△AED，

同理可得CDDE=S△ACDS△AED.

又因?yàn)槿切蜛CD與三角形ABD等高等底，所以三角形ACD與三角形ABD面積相等，而易證AE=DE，所以AB=CD.

方法9 構(gòu)造全等及等腰三角形

輔助線：如圖10，作CF∥AB，交AM延長線于點(diǎn)F，易得三角形ABM與三角形FMC全等，

所以AB=CF， ∠BAM=∠F，因?yàn)椤螧AM=∠D，所以∠F=∠D，所以CF=CD，所以AB=CD.

方法10 構(gòu)造全等及等腰三角形

輔助線：如圖11，延長DM至點(diǎn)F，使MF=DM，聯(lián)結(jié)BF，易得三角形BFM全等于三角形DMC，

可得CD=BF，∠F=∠D，

因?yàn)椤螧AM=∠D，所以∠F=∠BAM，

所以AB=BF，所以AB=CD.

方法11 構(gòu)造等腰三角形

輔助線：如圖12，在邊DM上取點(diǎn)F，使CF=CM，則CF=BM，∠MFC=∠FMC，所以∠DFC=∠FMB，因?yàn)椤螪=∠MAB，

所以三角形DFC與三角形ABM全等（AAS），

所以AB=CD.

方法12 利用中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形

輔助線：如圖13，作CE垂直DM于點(diǎn)E，BF垂直DM于F，垂足分別是E，F(xiàn)，易得△FMB與△MCE全等，所以BF=CE，

因?yàn)椤螰=∠DEC=90°，∠D=∠BAM，

所以△ABF與△DCE全等，

所以AB=CD.

方法13 利用正弦定理證明兩線段相等

設(shè)∠BAM=∠D=α，

在△ABM中，ABsin∠AMB=BMsinα，

在△CDM中，CDsin∠DMC=CMsinα.

因?yàn)椤螦MB+∠DMC=180°，

所以sin∠AMB=sin∠DMC，又因?yàn)锽M=CM，所以AB=CD.

四、總結(jié)

教師可以在平時(shí)的教學(xué)中注意積累，打造一題多解的教學(xué)資源庫.在教學(xué)實(shí)踐中，不斷地應(yīng)用一題多解問題，將一個(gè)題目的內(nèi)在價(jià)值充分地發(fā)揮出來，而不是讓學(xué)生一味地重復(fù)練習(xí).將平面幾何內(nèi)容的趣味性、學(xué)科價(jià)值等充分地發(fā)揮起來，為促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展作貢獻(xiàn).

參考文獻(xiàn)：

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[2]白雪峰.發(fā)展靈動(dòng)深刻與銳意創(chuàng)新的思維品質(zhì)——談一道平面幾何問題探究的心路歷程[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（17）：71-73.

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[責(zé)任編輯：李 璟]