基于HPM的“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計(jì)及其分析

吳夕鳴

【內(nèi)容摘要】雙曲線定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要概念，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)內(nèi)容。通過HPM的適當(dāng)引入和教學(xué)，能夠加強(qiáng)學(xué)生對(duì)雙曲線軌跡定義和截線定義的聯(lián)系認(rèn)識(shí)，從而提高學(xué)生解析幾何的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史 雙曲線概念 核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反應(yīng)數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)……幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀。”[1]將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)之中，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑。

然而由于教學(xué)的壓力和對(duì)數(shù)學(xué)史認(rèn)識(shí)的缺乏，一些教師很少將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)，或者僅僅是通過對(duì)數(shù)學(xué)人物和故事的簡(jiǎn)單介紹，未將其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)發(fā)展思想傳授給學(xué)生。例如，在“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)中，教師往往通過“拉鏈法”引入第一定義，再采用類比橢圓方程的“二次平方法”推出標(biāo)準(zhǔn)方程。采用上述方法固然正確，但可能引起學(xué)生對(duì)雙曲線定義原來的疑惑，以及之后對(duì)第一定義和第二定義的脫節(jié)，推導(dǎo)方程的計(jì)算過程也較為機(jī)械。針對(duì)以上問題，筆者通過HPM的角度，將歷史中出現(xiàn)的雙曲線定義和方程的推導(dǎo)方法進(jìn)行挖掘和提煉，結(jié)合日常教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程這一內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，以期望取得更好的教學(xué)效果和相關(guān)思想方法的滲透。

設(shè)計(jì)意圖

圓錐曲線是一個(gè)古老的話題。在1830-1969年間出版的英美早期解析幾何教科書中，多達(dá)93種對(duì)雙曲線進(jìn)行了不同形式的推導(dǎo)。在教科書中主要出現(xiàn)雙曲線的4種定義方式，其中，通過旦德林雙球模型來揭示雙曲線的定義，其中蘊(yùn)含的知識(shí)皆有助于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和邏輯推理。方程推導(dǎo)方法涉及幾何、代數(shù)、三角等多領(lǐng)域，蘊(yùn)含大量數(shù)學(xué)知識(shí)。因此，HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)可從以上方面入手。

學(xué)情分析

學(xué)習(xí)本節(jié)之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，橢圓的定義推導(dǎo)過程中向?qū)W生介紹了旦德林模型推導(dǎo)。本節(jié)課主要是要通過類比橢圓的旦德林雙球模型推導(dǎo)雙曲線定義，以及在標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)上選擇較為巧妙的方法較少計(jì)算量。

教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)回顧，引入課題

問題1：在上幾節(jié)課中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的定義以及其標(biāo)準(zhǔn)方程。在定義的推導(dǎo)中，我們感受到了古人的智慧，并通過旦德林雙球模型，連接了橢圓的軌跡定義和截線定義。請(qǐng)先回憶一下，我們是如何通過旦德林模型，推導(dǎo)出了橢圓的軌跡定義呢？

問題2：橢圓的軌跡定義是什么？截線定義是什么？標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

設(shè)計(jì)意圖：通過回顧，讓學(xué)生回憶通過旦德林模型推導(dǎo)橢圓的定義推導(dǎo)過程，為之后通過此模型類比得出雙曲線定義做鋪墊。在推導(dǎo)過程回顧的基礎(chǔ)上，再加深橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的理解。

（二）類比橢圓，生成定義

問題3：雙曲線的截線定義在第一課中我們已經(jīng)介紹過，古希臘人是如何截出雙曲線的呢？

問題4：回顧通過旦德林雙球模型得到橢圓的過程，即通過在圓柱得橢圓截面上下兩側(cè)放入兩個(gè)與截面相切的球，通過球的切線、切點(diǎn)性質(zhì)得到長(zhǎng)度的等價(jià)，從而得到橢圓上點(diǎn)軌跡的性質(zhì)。那么，雙曲線是否可以設(shè)計(jì)類似的模型呢？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}4教師需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行一系列引導(dǎo)。首先可以思考為何橢圓可以通過圓柱截出，雙曲線是否可以？若不可以，那么可以通過什么圖形得到？從而引導(dǎo)學(xué)生想到雙曲線截線得圓錐圖形。通過GeoGebra等幾何軟件，畫出圖形讓學(xué)生有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)。其次，通過橢圓模型的切點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)，通過切點(diǎn)切線性質(zhì)得到PQ+PR=PE+PF，從而引導(dǎo)雙曲線的雙球模型如何放球？切點(diǎn)和切線之間有何關(guān)系？最后，可引導(dǎo)出雙曲線焦點(diǎn)性質(zhì)： PF2-PF1=常數(shù)

問題5：通過上述模型得到了雙曲線焦點(diǎn)的性質(zhì)，那么滿足這個(gè)性質(zhì)的一定是雙曲線嗎？我們能夠通過這個(gè)性質(zhì)在平面上機(jī)械的作出雙曲線嗎？

設(shè)計(jì)意圖：教師可以先回顧橢圓的機(jī)械作圖，然后用一根拉鏈，拉鏈兩邊的差為F1F2，以F1 ，F(xiàn)2為焦點(diǎn)作雙曲線，由此作出雙曲線，歸納出雙曲線的軌跡定義。歸納過程中，教師可以追問：“PF1-PF2=2a表示的軌跡是？定長(zhǎng)等于F1F2怎么樣？大于F1 F2？小于F1F2？”從而加深學(xué)生對(duì)定義的理解。

（三）借鑒歷史，導(dǎo)出方程

問題6：橢圓有標(biāo)準(zhǔn)方程，我們是如何最簡(jiǎn)單地建立出標(biāo)準(zhǔn)方程的呢？

問題7：怎樣建立雙曲線的方程呢？

設(shè)計(jì)意圖 通過類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，確立建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)的步驟，以及分析雙曲線圖像的對(duì)稱性質(zhì)，得到雙曲線的軌跡方程，也更好的理解“標(biāo)準(zhǔn)”的所在。

問題8：如何化簡(jiǎn)上述所得方程呢？有沒有更好的化簡(jiǎn)方法呢？

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生已經(jīng)在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)中得到了一個(gè)化簡(jiǎn)方法：移項(xiàng)后兩次平方。然而此種算法較為繁瑣。教師可以介紹Young（1830）采用的平方差法，由：

通過上述方法，拓寬學(xué)生的視野，在學(xué)有余力的情況下，還可以介紹洛必達(dá)的“和差術(shù)”方法來化簡(jiǎn)。

問題9：雙曲線中的a，b，c有怎樣的等量關(guān)系呢？

問題10：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線方程是怎樣的呢？

設(shè)計(jì)意圖 通過橢圓的類比，得到雙曲線參數(shù)的關(guān)系，以及焦點(diǎn)在y軸上的方程，從而完成雙曲線定義和方程的概念生成。

（四）學(xué)以致用，運(yùn)用方程

例1，求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

設(shè)計(jì)意圖 例1為常規(guī)題型，旨在讓學(xué)生進(jìn)一步理解雙曲線的參數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，教師給予板書書寫解題過程，并歸納一般求雙曲線方程的方法（待定系數(shù)）

對(duì)于例2，旨在讓學(xué)生進(jìn)一步通過數(shù)形結(jié)合的思想來思考，由形助數(shù)，而不是一味地進(jìn)行復(fù)雜的化簡(jiǎn)。也讓學(xué)生進(jìn)一步感受到數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用能讓解題如虎添翼。

對(duì)于例3，是數(shù)形結(jié)合的進(jìn)一步運(yùn)用，教師可進(jìn)行適當(dāng)分析，畫圖，板演一道后再進(jìn)行相關(guān)變式練習(xí)。

總結(jié)與反思

（一）基于歷史，讓學(xué)習(xí)過程更自然

在雙曲線的教學(xué)中，教師一般是通過橢圓學(xué)習(xí)的類比思想，利用拉鏈法得出定值的結(jié)論，歸納出雙曲線軌跡定義，再利用二次平方法，化簡(jiǎn)出標(biāo)準(zhǔn)方程。但是，拉鏈法的使用學(xué)生并不能很自然地想到，并且無(wú)法和雙曲線的截線定義聯(lián)系，從而有一定脫節(jié)，對(duì)之后的統(tǒng)一定義學(xué)習(xí)留有障礙。其次，方程的化簡(jiǎn)方法也和第一課類似，無(wú)法提起學(xué)生的興趣，不利于學(xué)生深入理解雙曲線的知識(shí)。

在以HPM為基礎(chǔ)上，本節(jié)課依舊是通過橢圓類比，在學(xué)生已經(jīng)有橢圓旦德林雙球模型知識(shí)的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行適當(dāng)變化，可以讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的獲取更加符合思維拓展的順序（歷史序）。其次，利用多媒體技術(shù)也可以增強(qiáng)學(xué)生的空間感官，讓學(xué)生充分探究。最后，利用旦德林雙球模型，將截線定義和軌跡定義統(tǒng)一起來，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的互相聯(lián)系。

（二）運(yùn)用史料的方法更加多元化

以往教師在運(yùn)用史料時(shí)，一般是對(duì)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)故事的補(bǔ)充介紹，只是增加了一些課堂的趣味性，但沒有將古人的數(shù)學(xué)思想融入課堂。以HPM為基點(diǎn)的教學(xué)，希望能將史料中的數(shù)學(xué)思維融入課堂，通過史料來解決一系列數(shù)學(xué)問題。本課的旦德林雙球模型，即是一種讓學(xué)生能夠更好接受圓錐曲線軌跡定義的方法，以形助數(shù)。而在算法中，古人的智慧也是無(wú)窮的，洛必達(dá)的和差術(shù)、Young的平方差法等，都是拓展學(xué)生計(jì)算思維的優(yōu)秀案例。教師在基于書本的基礎(chǔ)上，拓展出更多巧妙地解法，可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，同時(shí)也能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的精妙，提高對(duì)數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟。鼓勵(lì)學(xué)生再探究、再思考，加深對(duì)數(shù)學(xué)積極的情感態(tài)度。

（三）不足之處

本節(jié)課利用旦德林雙球模型，學(xué)生需要較強(qiáng)的空間想象能力。因此在教學(xué)的過程中，除了使用多媒體之外，教師還應(yīng)研究如何讓學(xué)生能夠更好地想象出旦德林雙球模型。在化簡(jiǎn)方程過程上，如何更加自然地想到平方差法，也是需要進(jìn)一步探討的。

【參考文獻(xiàn)】

[1]教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2016：10+38.

[2]程琛.雙曲線的發(fā)生教學(xué)研究[D].華中師范大學(xué)，2014.

[3] 張佳麗.HPM視角下高中圓錐曲線的教學(xué)研究[D].江西師范大學(xué)，2018.

（作者單位：蘇州市第三中學(xué)校）