在問題解決中走出方程應用的誤區

王妍

【摘要】小學生在之前用字母表示數等知識的基礎上學習方程這部分的知識，認識并理解方程的意義以及性質，并將這部分知識應用于解決實際問題，然而學生在解決實際問題的過程中出現了不少問題，出現新舊知識的矛盾沖突。本文旨在幫助學生解決實際問題中出現的問題，更加深刻地理解方程的意義，并更好地應用。

【關鍵詞】方程 問題解決 應用

蘇教版數學五年級下冊第一單元安排的內容就是簡易方程。在這個單元學生認識了方程的含義，等式的性質，還學會了解簡易方程的方法，在此基礎上還安排了列方程解決實際問題的內容。學生在學習基本的方程知識的基礎上，將這部分知識用于解決日常生活中遇到的實際問題。雖然書本上對于方程的定義作出了一定的解釋，然而在利用這個定義去解決實際問題的過程中，學生出現了不少的問題。不過在解決這些問題的過程中，學生能夠深刻地體會方程的意義，豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力，發展數學素養，并為后面進一步學習代數知識以及其他學科知識打下了重要的基礎。接下來，筆者以這一課例來進行深入研究。

【教學片段一】

出示：商店進了一批羽毛球，賣了69個，還剩31個，這一批羽毛球有多少個？

師：想一想，這道題要求什么？

生：求這一批羽毛球一共有多少個。

師：怎樣列方程解決這個問題呢？生：可以設這一批羽毛球一共有x個，根據賣出的數量+

還剩的數量=一共的數量，列出方程：69+31=x。

師：在列出的這道方程中，這個未知數可以去掉嗎？如果去掉的話影響求解嗎？

生：可以去掉，對解這道題毫無影響，同樣能計算出羽毛球的數量。

師：所以說像69+31=x這樣的方程不能體現列方程解決實際問題的特點，所以一般不這樣列方程。

師：還可以怎樣來列方程解答呢？

生：設這一批羽毛球一共有x個，根據一共的數量一賣出的數量一還剩的數量，列出方程：x-69=31。然后根據等式的性質來進行解答。

師：這樣列出的方程中的未知數x可以去掉嗎？如果去掉影響計算嗎？

生：不可以去掉，去掉的話就不是一道完整的算式了。更沒法通過等式的性質來進行求解。

生：還可以設這一批羽毛球一共有x個，根據一共的數量一還剩的數量一賣出的數量這組相等關系來列方程，列出的方程為：x-31=69。

師：下面的這兩種列方程的方法和第一種方法相比，你有什么發現嗎？

生：第一種列方程的方法，雖然未知數參與了列式，但在實際的計算過程中毫無作用，都可以省略，也不會影響這道題的求解。本質上這就是算術方法，直接求出這批羽毛球一共有多少個。

生：后兩種列式的方法，未知數是不可以去掉的，去掉的話就不是一個完整的算式了，然后再根據等式的性質求出未知數的值。

從同學們的發言中，我們可以看出來，既然要求列方程解決這個實際問題，我們列出的算式就得體現用方程解決實際問題的特點，不能僅僅是形式上看起來像是方程，實際本質上卻是直接計算的方法。而且這也體現出了不同的思維方式，直接計算的話，就是利用已知條件直接求出未知數，這是逆向思維。而列方程來進行求解，是未知數也參與列式，根據等量關系列出方程并求出未知數，這是順向思維。順向思維更有利于去解決復雜的問題，降低解決問題的難度。張奠宙教授就對算術方法和方程方法的區別做過這樣的比喻：“比如我們要過河，到達河的對岸，算術方法就是依據現有的條件摸著石頭過河，而方程方法則是在河的此岸和彼岸拉一條繩子，建立關系，然后順著繩子到達對岸。”

【教學片段二】

在做書本上的這一道練習題時，班上又出現了不同的聲音。題目是這樣的：獵豹是世界上跑得最快的動物，時速能達到110千米，比貓的最快時速的2倍還多20千米。貓的最快時速是多少千米？

師：除了2x+20=110，還可以怎樣來列方程？

生：（110-20）÷x=2

生：（110-20）÷2=x

師：不考慮計算的難易程度，你覺得上面的幾個方程，你最喜歡哪一種，哪一種你感覺很別扭？談談你的看法。

生：方程（110-20）÷2=x看起來都不像是方程了，這個未知數x好像都能去掉了，可有可無。

師：去掉這個x，這道算式還能繼續算下去嗎？

生：這個x就是我們要求的數，如果把這個未知數去掉的話，根本不影響計算，可以看出這個方程其實不是真正意義上的方程，只是看起來像是方程，而這個未知數在上面就是一個形式，對解題毫無影響。本質上還是運用算術的方法進行計算。

師：那另外的兩個方程呢？是不是也可以去掉方程中的未知數x呢？這個未知數還是可有可無的嗎？

生：在這道方程2x+20=110中，如果去掉x的話，方程就變成了2+20=110了，就不是一個正確的算式了，更不要說再進行計算了。

生：（110-20）÷x=2，也是不可以去掉未知數x的，如果去掉的話，也就不是一道完整的算式了，也沒法進行計算了。

師：從剛剛的三道算式的對比中，我們發現雖然我們列的都是方程，都是含有未知數的等式，而且都是符合題意的，但是并不是所有含有未知數的等式都能體現列方程解決實際問題的特點。由此可見，方程中的未知數不僅要參與列式，還得要參與計算。而像我們列出的（110-20）÷2=x這道算式，未知數x實際上毫無作用，就是一個擺設，不參與運算，它的解題思路實際上還是算術方法。

師：通過上面的比較過程，你對方程又有了什么新的認識嗎？

生：我發現，方程不僅必須有未知數參與列式，而且這個未知數還得參與計算。

師：現在我們來思考一下，x=9是不是方程？

生：x=9并不是真正意義上的方程，雖然這個等式中含有未知數，但是這個未知數并沒有參與計算，所以只能說這個是方程的解。

師：那S=ah，這是平行四邊形的面積公式，你覺得這個是方程嗎？

生：當知道平行四邊形的底和高的時候，要求面積時，如果把面積看成未知數，那列出的等式就不是方程了。例如平行四邊形的底是5cm，高是10cm，面積用未知數x來表示的話，方程就列為x=5×10。

生：如果知道底和面積求高時，這樣列出的等式就可以看作是方程了。或者知道高和面積求底時，也可以看作是方程。

生：不管求哪一個未知量，這都是一道等式，是等量關系。但是根據求的未知數的不同，有時候是不能看作方程的。

師：隨著我們學習的深入，我們對方程的含義又有了更深層次的認識和理解。由此可見，我們數學書上對于方程的定義還不是很全面，具有一定的局限性。并不是含有未知數的等式都叫方程。通過今天的學習，我們知道，真正意義上的方程必須得滿足兩個條件：一是未知數一定要參與列式，二是未知數得參與計算。像x=9，S=ah這樣表示出的等式，實際上只是長得像方程，而實際上并沒有體現方程計算解決問題的特點，所以它們并不是真正意義上的方程。

由于剛接觸方程，許多學生的思維仍然沒有轉變過來，在解決問題的過程中仍然使用算術的方法來解題，實際上就是沒有在頭腦中把思維從算術的方法轉到方程的方法中來，沒有體會到方程解決問題的優越性。后續可以通過一些練習，幫助學生區別列式計算和列方程的關系，切實體會算術解法需要思路逆向，需要多加思索，理清解題思路，需要依靠已知條件去求解未知條件。而列方程解決問題，是把要求的數字當成一個已經存在的且具體的一個數值（用字母x來表示），根據題目中給出的數量間的相等關系列出方程，進而進行求解，思路簡單并且順暢，只需要順著題目給出的條件進行思考，順向思維，能降低解決復雜問題的難度，提高解決問題的能力。

不過想要正確地列出方程，還得充分理解題目給出的條件，找到題目中數量間的相等關系，只有找準相等關系才能根據它來列出方程。此外，還得找準誰才是未知數。如果題目中求解兩個量，未知數沒有找準就會加大解方程的難度，使學生在解題時遇到更多的困難。還有可能出現雖然方程列式正確，但是方程的解不對這樣的情況。

在問題解決中應讓學生不斷認識方程的意義，更加全面地去理解方程的意義，從而能夠準確地利用方程的知識去解決問題，化難為易，真正把方程的知識學透徹，便于解決實際問題。