逆矩陣的教學設計

閆偉文　白慶月

摘? 要：線性代數作為代數學的分支，具有重要的理論和實際應用價值。矩陣是研究線性代數的重要工具，矩陣中的逆矩陣在求解線性方程組中起著舉足輕重的作用。逆矩陣既是線性代數的教學重點，又是教學難點。本文從理論與實踐兩個角度探討逆矩陣的教學設計，以此達到提高學生數學應用能力的目的。

關鍵詞：線性代數;逆矩陣;線性方程組;教學設計

中圖分類號：G632? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1673-7164（2021）19-0068-04

線性代數是我國高校經管、理工類各專業的一門公共必修基礎課，在經濟學、計算機技術、人工智能等多領域有著廣泛的應用。該課程內容豐富、概念抽象、公式繁雜、知識點之間聯系緊密，學生學習難度較大，培養學生的邏輯思維能力，運用數學思維分析問題、解決問題的能力。該課程中逆矩陣是求解矩陣方程即線性方程組的重要工具，而線性方程組是線性代數的教學主線，貫穿該課程的始終[1]。因此做好逆矩陣的教學設計十分必要。線性代數提供了一種數學思想方法及素養的范式[2]。本文從理論與實踐兩個角度探討逆矩陣的教學設計。

一、從理論角度——數學的思想方法設計

目前多數應用型本科高校使用的線性代數教材是吳贛昌主編的《線性代數》（簡明版第五版）[3]。教學內容主要包括行列式、矩陣、線性方程組、矩陣的特征值、二次型。求解線性方程組是線性代數的本質任務，貫穿線性代數的始終。教學過程中，教師應該以線性方程組為主線，用舊知識去解釋新知識，通過數學的思想方法找出不同概念之間的聯系，這樣才能使學生形成系統的知識體系[4]，進而建構數學思維，培養學生思維能力。矩陣作為求解線性方程組的主要工具，體現了豐富的數學思想，下面對逆矩陣從數學思想層面進行教學設計。

（一）通過類比思想導入概念

類比思想是用舊知認識新知，用已知探究未知的一種重要數學思想。在引入逆矩陣概念的設計中，這種思想表現更為突出。線性代數的主要任務是求解線性方程組。

n元齊次線性方程組可以表示為矩陣方程Ax=b。矩陣方程Ax=b類比于實數方程ax=b。對于方程ax=b，當a≠0時，解方程的思想是化“a”為“1”，即

a-1（ax）=a-1b？圯（a-1）ax=a-1b？圯1x=a-1b？圯x=a-1b;

對于矩陣方程Ax=b，求解的思想類似，為化“A”為“E”，即

B（Ax）=Bb？圯（BA）x=Bb？圯Ex=Bb？圯x=Bb。

若此解法可行，關鍵是否存在矩陣B，使得BA=E，引出逆矩陣的概念：

定義[3]：對n階矩陣A，若存在一個n階矩陣B，使得AB=BA=E，則矩陣A稱為可逆矩陣，而矩陣B稱為A的逆矩陣，記做A-1。

逆矩陣類比于倒數，矩陣的逆運算類比于數的除法運算。通過對逆矩陣的類比，有助于學生對逆矩陣概念的理解，學生學習此概念的難度會大大降低，培養學生用已有知識體系構建新知識體系的能力。

（二）通過具體到抽象的思想得到矩陣可逆的一般結論[5]

一個非零數的倒數一定是存在的，類似地學生會設疑，什么樣的矩陣存在逆矩陣？先看一個簡單案例[6]：

（1）設矩陣A=2? 51? 3，存在矩陣B=2? -5-1? 2，使得AB=BA=E，則矩陣B為矩陣A的逆矩陣，即矩陣A可逆。

（2）設矩陣O=0? 00? 0，顯然找不到任何一個矩陣B，使得OB=BO=E，則零矩陣不存在逆矩陣，即零矩陣不可逆。

（3）設矩陣A=1? 22? 4，則矩陣A不可逆。

通過以上具體案例，學生會問兩個問題：第一，方陣什么條件下可逆？第二，若方陣可逆，逆矩陣唯一嗎，如何找到？進而引發學生思考，得到矩陣可逆的一般結論。

結論1[6]：若矩陣A可逆，則其逆矩陣一定是唯一的。

引導學生用反證法證明這一抽象結論。

結論2[3]：n階矩陣A可逆的充要條件是A≠0，且當A可逆時，有A-1=A*。

首先引導學生找規律，思考探索矩陣可逆的一般條件，進而加以證明。通過以上具體到抽象的思維方式，培養了學生的抽象思維能力與分析探究能力。

（三）通過特殊到一般的思想引出伴隨矩陣求逆

特殊矩陣：單位矩陣與對角矩陣。

（1）單位矩陣的逆矩陣是其本身。

（2）對角矩陣的逆矩陣為其主對角線各元素的倒數。

對于一般n階可逆矩陣A，需要尋找矩陣B，使得AB=BA=E，將矩陣A與矩陣B的具體元素設出來，通過解方程組可得矩陣B，矩陣B為矩陣A的逆矩陣，在此過程中，定義了伴隨矩陣A？鄢，即AA？鄢=A？鄢A=AE。這樣有了伴隨矩陣，求逆就有了方法。

這種由特殊到一般的分析思路是學生學習數學的能力目標，是分析問題的基礎能力。

（四）通過方程思想[7]得到初等變換法求逆

若AB=E，則B=A-1。根據此推論[3]，利用求解方程組來求逆矩陣。

設n階可逆矩陣A與矩陣B，由上述推論可得方程組Aβ1=e1，Aβ2=e2，Aβn=en， 其中B=（β1 β2…βn），E=（e1e2…en），理論上高斯消元法就可以求得方程組的解，即得矩陣B。而高斯消元法對應矩陣的初等變換，上述線性方程組對應增廣矩陣（Ae1e2…en）Eβ1 β2…βn，這樣通過方程的思想就得到了求逆矩陣的初等變換法（AE）（EA-1）。初等變換法是求逆矩陣的非常有效的方法，也有筆者研究了同時使用初等行變換與初等列變換求逆矩陣[8-9]。通過給學生植入熟悉的方程思想，使學生能更深刻地理解初等變換法求逆矩陣。

二、從實踐角度——逆矩陣的實際應用設計

（一）逆矩陣在密碼學中的應用

逆矩陣的一個經典應用是對Hill密碼的加密與解密。學生對某一知識的使用比對知識本身更感興趣，因此，教師在講授完逆矩陣的基本概念與性質之后，可以給學生引入實際案例——Hill密碼。

Hill加密算法的基本思想是設計一種可逆的對應關系即矩陣方程。首先給學生一個小任務，快速查閱關于Hill密碼的簡介，大概了解其由來，并認識其組成，并在教師的指導下研究探討其原理。在探究的過程中，讓學生感知數學知識并不是枯燥乏味的，它在實際生活中活靈活現，而且體會到數學知識是很重要的工具。與前面數學的思想方法相比，學生可能更喜歡這種看得見的實際應用，以此激發學生對理論的演算與推理的更深層次理解。然后，通過一個有趣的練習讓學生進一步使用逆矩陣來加深對逆矩陣的理解[10]。

如對明文“I love you”，設計合適的密鑰矩陣，實現Hill加密和解密過程。加密步驟總結為：①將文字信息轉化為數字信息;②利用加密矩陣將數字信息加密;③將加密得到的數字信息轉化為文字信息;④傳輸給對方。解密步驟總結為：①將收到的文字信息轉化為數字信息;②利用解密矩陣將數字信息解密;③將解密得到的數字信息轉化為文字信息。重難點總結：加密矩陣的設計原則：①算起來容易（加密矩陣與其逆矩陣元素都是整數）;②不容易被敵方破譯，要有一定的復雜性。加密矩陣滿足的條件：①的每一個元素為整數（加密矩陣為整數矩陣）;②解密矩陣為整數矩陣。尋求滿足條件的簡單矩陣：上（下）三角矩陣，但容易被破譯，所以采用上三角矩陣與下三角矩陣的乘積，較復雜些。另外不應采用低階矩陣，而應采用高階矩陣不易被破譯[11]。

（二）逆矩陣的數學實驗操作

在開設的數學實驗課程中，讓學生用MATLAB實現對逆矩陣的求解。學生既需要將實際問題抽象出簡單的矩陣模型，又需要對簡單的矩陣模型進行求解。數學實驗促進學生掌握求逆矩陣的多種方法，加深學生對逆矩陣理論的理解，強化了學生應用數學工具解決實際問題的意識，培養了學生的動手能力。

MATLAB作為數學上較實用的數學軟件，是學生跨越數學理論與實踐的橋梁。熟練掌握MATLAB，既可以提高學生應用數學解決實際問題的意識，又可以培養學生用所學的數學知識和計算機技術解決實際問題的能力。

參考文獻：

[1] 江蓉，王守中. 向量組線性相關性的教學設計[J]. 西南師范大學學報（自然科學版），2017，42（04）：146-150.

[2] 朱琳. 基于發生教學法的線性空間概念的教學研究[D]. 武漢：華東師范大學，2017：74-81.

[3] 吳贛昌. 線性代數（簡明版第五版）[M]. 北京：中國人民大學出版社，2017.

[4] 徐海靜，何立官. 矩陣思想在《線性代數》教學中的應用[J]. 西南師范大學學報（自然科學版），2012，37（05）：161-163.

[5] 張莉. 矩陣與變換的教學設計研究與實驗[D]. 武漢：華中師范大學，2011：13-23.

[6] 戴維·普爾（POOLE D.）. Linear Algebra（Fourth Edition）[M]. 北京：中國人民大學出版社，2016：107-111.

[7] 北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組. 高等代數[M]. 北京：高等教育出版社，2003.

[8] 張喜善. 初等行變換與初等列變換并用求逆矩陣[J]. 中央民族大學學報（自然科學版），2016，25（03）：37-40.

[9] 裴昌萍. 基于求逆矩陣的幾種方法[J]. 青海大學學報（自然科學版），2014（04）：13-15.

[10] 楊威，陳懷琛，等. 大學數學類課程思政探索與實踐——以西安電子科技大學線性代數教學為例[J]. 大學教育，2020（03）：77-79.

[11] 陳建龍，張小向. “金課”標準下的線性代數教學[J]. 大學數學，2019，35（05）：73-82.

（薦稿人：賈慶菊，山西財經大學副教授）

（責任編輯：淳潔）