多元函數極值問題的解法研究

徐莉　周創

摘? 要：近幾年，許多學者對多元函數進行了更深入的研究，有關多元函數方面的理論也逐漸完善，應用也越來越廣泛。多元函數極值問題的解法通常是研究的重點，故本文也進行了相關的分析和研究，分別是多元函數極值的概念、多元函數極值的判定、條件極值與拉格朗日乘數法以及多元函數極值問題的幾種解法，并分別進行了相應的總結。

關鍵詞：多元函數;極值問題;解法

中圖分類號：O174.1? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1673-7164（2021）19-0145-04

多元函數從一元函數演變過來，具有一元函數的某些基本性質，也具有自身的一些特性。因此，在研究多元函數時應結合一元函數來研究。解多元函數通常需要研究二元函數[1]。多元函數極值問題的解法通常是研究的重點，當然也是學習高數的重點，通過閱讀大量文獻以及結合自身學習函數的實踐經驗，本文對多元函數極值問題的幾種解法進行了分析探討，并進行了相應的總結。

一、多元函數極值的概念

值，也就是指多元函數在給定的范圍內或者定義域內的最大值或者最小值。多元函數的極值，是對于二元函數的極值來定義的。假設函數z=f（x，y）的定義域為D，P0（x0，y0）是D內的點，如果存在某個定義域內的領域屬于D，該領域內的點與P0不同，但是都存在f（x，y）<f（x0，y0），則稱f（x，y）在點P0（x0，y0）處有極大值，點P0（x0，y0）稱為函數f（x，y）的極大值點;反之，則稱f（x，y）在點P0（x0，y0）處有極小值，點P0（x0，y0）稱為函數f（x，y）的極小值點[2]。

假設函數z=f（x，y）在（x0，y0）處具有偏導數，并且在點（x0，y0）處有極值，那么

把該點稱為二元函數z=f（x，y）的駐點。如果z=f（x，y）存在偏導數，那么函數的極值點一定是函數的駐點。但是相反地，函數的駐點不一定是極值點。

二、多元函數極值的判定

對于多元函數極值的判定存在必要條件和充分條件，必要條件就是極值所在點是駐點。充分條件為z=f（x，y）在定義域或者某領域包含點（x0，y0）存在二階導數，且是連續的，如果對x進行二次求導設為A，即fxx（x0，y0）=A，對x再對y偏導數記為B，即fxy（x0，y0）=B，對y二次求導設為C，即fyy（x0，y0）=C[3]。

（1）AC-B2>0，則表明具有極值，且（x0，y0）即為極值點，當A<0時，存在極大值，（x0，y0）點處為極大值，反之，存在極小值，（x0，y0）為極小值;（2）若AC-B2<0，則表明沒有極值，即函數在（x0，y0）處不存在極值點;（3）若AC-B2=0，則可能存在極值，也可能不存在極值，即無法判斷函數在（x0，y0）處是否存在極值，還需另作討論。

對于可進行二次求導的連續的z=f（x，y）進行極值點的求解時，教師可引導學生首先對z=f（x，y）的x，y分別進行一次求導，并解，從而會得到多組駐點，要想判斷哪個駐點為所求的極值點，可以分別對每個駐點進行二次求導，通過AC-B2的值來判斷是否存在極值，若存在極值則進一步判斷是極大值還是極小值。

三、條件極值與拉格朗日乘數法

（一）條件極值

對多元函數的概念進行定義時，只需要研究的點在定義域之內，沒有其他任何條件，這就是無條件極值，條件極值其實在生活日常的運用中會經常出現，例如下面一道例題：z=f（x，y）=x3y（4-x-y）在由x+y=6，求x軸和y軸所圍成的閉區域D上的極值、最大值與最小值。

此題中x+y=6，x軸和y軸所圍成的閉區域D就是題目的兩個條件，可以將x+y=6，轉換為y=6-x，帶入z中再研究極值。其實這一步驟是將條件極值轉換成了無條件極值進行求解。但是，并不是任何一個有條件的極值求解都可以轉換成無條件極值，因此有學者提出拉格朗日乘數法能夠對任何一種條件極值題目進行求解。

（二）拉格朗日乘數法

拉格朗日乘數法主要是對存在一個條件或者多個條件的多元函數的極值進行求解。拉格朗日乘數法實質上就是將n個變量與k個約束條件最優解的問題，轉換成n+k個變量的方程組的極值問題，從而使得變量不再有約束條件，在轉變的過程中引入了拉格朗日乘數[4]。具體定義介紹如下：

假設給定了二元函數z=f（x，y）和條件函數為φ（x，y）=0，要求z的極值。那解答者首先要構建拉格朗日函數L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y），其中拉格朗日乘數就是λ，分別對x，y進行求導，使其值為零，并與附加條件聯立，即

L′x（x，y）=f ′x（x，y）+λφ′x（x，y）=0

L′y（x，y）=f ′y（x，y）+λφ′y（x，y）=0

φ（x，y）=0

根據這三個方程求解出x，y，λ，這樣所求解出的（x，y）就是可能的極值點，要是該點唯一就必然是題目所要求解的點。

四、多元函數極值問題的幾種解法

（一）二元導數偏導數求解多元函數極值

如果（x，y）存在二階連續偏導數，則可以通過二元導數偏導數來求解多元函數極值。具體步驟可以分為三步，第一步是對（x，y）進行求導后，解的方程組，從而得到所有的駐點;第二步是對每個駐點求解相應的A、B、C的值;第三步就是通過判斷AC-B2的值從而來判斷駐點是否為極值，若為極值，是極大值還是極小值。值得注意的是如果AC-B2=0或者（x，y）不存在偏導數，則需要采取其他的求解辦法進行求解。相應的例題如下：求解函數f（x，y）=x3-y3+3x2+3y2-9x的極值

解（1）求解的方程組。求解出所有駐點，分別為（1，0），（1，2），（-3，0），（-3，2）;（2）對于每個駐點求解相應的A，B，C的值;（3）通過判斷AC-B2的值從而來判斷駐點是否為極值。通過計算得AC-B2<0，則表明（1，2），（-3，0）不是函數的極值點;而在點（1，0）處AC-B2>0，且A的值小于零，這表明（1，0）是所要求函數的極小值點，將（1，0）代函數可得f（1，0）=-5;在點（-3，2）處AC-B2<0，且A的值大于零，這表明（-3，2）是所要求函數的極大值點，將（-3，2）代入函數可得f（-3，2）=31。

至此，本題利用二元導數偏導數求解完畢，得出正確答案。

（二）拉格朗日乘數法求解多元函數極值

前文也有提到過，拉格朗日乘數法實質上就是將n個變量與k個約束條件最優解的問題，轉換成n+k個變量的方程組的極值問題，它所要解決的是條件極值的問題，具體的步驟和相關例題如下：求解t=xyz的極值，約束條件為（x>0，y>0，z>0，a>0）。

解（1）構建拉格朗日函數。

（2）分別對x，y，λ進行求導使其值為零。即，可以求解出x=y=z=3a，因此解答者可以得出t=xyz的極值點為（3a，3a，3a），再加上這個極值點唯一，因此本題的極值點一定存在，將（3a，3a，3a）代入t=xyz，可得極值為27a3。

上題中如果想嚴格地確定所求出的點（3a，3a，3a）是否真的為極值點，解答者可以將z用x，y，a表示出來，帶到t=xyz中，從而得到一個二元函數，再用二元函數求解多元函數的極值進行求解，上節關于二元函數求解多元函數極值的方法和步驟已經有詳述，此處不做過多贅述。

（三）參數方程求解多元函數極值

求函數z=f（x，y）的極值點，x=ueu，y=ue（-u）。

解dy=（1-u）e（-u）;dx=（1+t）eu，讓，求解可得u=1，駐點為x=e。經過分析可以得出，當u<1，也就是在x=e的左側時，y的導數大于零，函數遞增;當u>1，也就是在x=e的右側時，y的導數小于零，函數遞減;這可以證明x=e處為函數的極大值點。

在對此題進行思考和作答時，值得注意的是，當dx=0，即u=-1，此時函數是沒有意義的，當u=-1，x=ueu時，解答者對其求導可得，二次求導后可得其值大于零，根據定義可以看出u=1是x=ueu的極小值點，此時，這是z=f（x，y）的左端點，并不是所謂的極小值點，因為函數極值有定義，極值點是定義區間的內點。

五、總結

綜上所述，本文簡單介紹了多元函數的概念、多元函數極值的判定、條件極值與拉格朗日乘數法，并介紹了多元函數的三種常見的解法，在實際解決問題或者解決題目時，可以具體情況具體分析，找到適合的方法和手段，更快地解決問題[5]。

參考文獻：

[1] 牛艷秋. 求解多元函數極值與條件極值的探討[J]. 黑龍江科學，2018，9（18）：14-15.

[2] 佘連兵. 多元函數極值問題的概念及理論應用[J]. 六盤水師范學院學報，2016，28（03）：5-10.

[3] 范周田，彭娟，黃秋梅. 多元函數極值充分條件證明的一元方法[J]. 數學的實踐與認識，2015，45（24）：297-300.

[4] 荊慶林. 基于求多元函數極值應注意問題的研究[J]. 吉林工程技術師范學院學報，2013，29（04）：67-70.

[5] 李安東. 多元函數極值和條件極值的一般判定方法[J]. 皖西學院學報，2006（02）：30-33.

（薦稿人：陶立平，金華廣播電視大學副教授）

（責任編輯：汪旦旦）