“等差數列的前n項和”教學設計

王友偉

摘? 要：借助閱兵隊列訓練視頻創設情境，引導學生以數學眼光看問題. 先從具體等差數列入手，再通過方法遷移，得到一般的公式. 從數的角度進行公式的推導，了解倒序相加法;從形的角度對公式進行直觀解釋，對公式進行深入理解. 經歷提出問題、探尋研究方法、擬定研究方案、實施探究等過程，落實“四基”、提高“四能”，發展數學學科核心素養.

關鍵詞：等差數列;前[n]項和;數學本質;研究方法;核心素養

一、教學內容解析

數列是函數的延續和發展. 在蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學5（必修）》（以下統稱“教材”）中，通過列舉生活和數學中的大量實例，給出數列的實際背景，讓學生了解數列的概念，理解數列是一類特殊的函數.“等差數列的前n項和”是繼數列、等差數列的概念之后學習的內容，其研究方法能夠為后續研究等比數列及其他數列提供幫助. 本節課的主要內容是等差數列的前n項和公式的推導，而對于公式的變形及應用，以及通過其他途徑來求等差數列的前n項和，將在后續的學習中進行研究.

二、教學目標設置

本節課教學目標設置如下.

（1）經歷探索等差數列前n項和公式的過程，掌握從特殊到一般的研究方法，體會轉化與化歸、分類討論等數學思想，積累數學活動經驗.

（2）了解倒序相加法，理解等差數列的前n項和公式，能夠合理運用公式解決問題，提高分析問題、解決問題的能力，提升數學建模、邏輯推理等數學學科核心素養.

三、學生學情分析

本節課的授課對象是高二年級的學生，學生在學習本節課內容之前，已經學習了數列、等差數列的概念及通項公式等基礎知識，了解了等差數列中的幾個量[a1，n，d，an]之間的關系.學生具有一定的歸納、推理能力及良好的思維習慣，部分學生擁有對特殊的等差數列求和的經驗. 這些都為本節課的教學提供了知識遷移和方法類比的可能. 但學生仍未理解數列求和方法的本質. 因此，本節課的教學重在“說理”，即讓學生從感性認識上升到理性認識.基于學情，確定本節課的教學重點為等差數列前n項和公式的推導，教學難點為探索求等差數列前n項和的方法.

四、教學策略分析

本節課采用以下教學策略.

（1）創設情境，引導學生用數學眼光觀察世界，對現實問題進行數學抽象.

（2）引導學生從具體的等差數列入手，通過方法遷移，探究等差數列的前[n]項和公式.

（3）從數的角度進行公式的推導，從形的角度對公式進行直觀解釋.

（4）引導學生對比、總結推導方法的特點，體會數學的簡潔美.

五、教學過程設計

1. 引導回顧，梳理知識

之前學生學習了數列的概念，研究了一類特殊的數列——等差數列. 借助樹圖，回顧了已經學習過的有關等差數列的知識.

【設計意圖】以樹圖的形式幫助學生回顧知識、梳理框架，體會研究數學的一般方法——將未知轉化為已知進行研究. 鞏固理解an，a1，n，d四個量中“知三求一”，為接下來分析問題、探究方法做好鋪墊.

2. 創設情境，提出問題

教師播放閱兵訓練視頻，提示學生觀看視頻時思考能否用數列的觀點研究視頻中的畫面.

【設計意圖】借助閱兵隊列訓練視頻，在激發學生愛國熱情的同時，讓學生感受到數學來源于生活，引導學生用數學眼光觀察世界，從數學角度思考問題.

視頻中的隊列變化畫面如圖1所示，對應抽象成點陣，如圖2所示.

問題1：對于如圖2所示的點陣，你能用數列的觀點發現問題、提出問題嗎？

【設計意圖】引導學生嘗試尋找隊列的人數與數列的關系，內化等差數列中的首項、項數、公差等概念，引導學生將實際問題中的數量抽象出來并用符號進行表示，進一步培養學生的觀察能力，以及從實際問題中進行數學抽象的能力. 學生選擇從最簡單的等差數列——常數列入手，通過對常數列求和的體驗，為接下來研究“公差不為0的等差數列求和時，將不同數相加轉化為相同數相加”做好鋪墊.

將圖1（3）的左下區域抽象為點陣，如圖3所示，以此為例進行研究.

問題2：對于圖3，你能用數列的觀點發現問題、提出問題嗎？

【設計意圖】繼續內化等差數列中的首項、項數、公差等概念，在學生提出問題后順勢而為，引出本節課的課題——等差數列的前n項和. 同時，通過“提出問題—明確方向—分析問題”這一系列的操作，讓學生感受到研究等差數列的前n項和的必要性.

3. 組織活動，探索方法

問題3：設如圖3所示的點陣區域的總人數為S21，如何求這個區域的總人數？

嘗試用多種方法，學生分組討論，5分鐘后小組匯報.

S21 = 3 + 4 + … + 22 + 23.

預設方案1：從數的角度研究.

預設方案3：從形的角度研究，如圖4所示.

【設計意圖】通過問題2引導學生經歷從特殊到一般的研究過程. 通過組織活動，讓學生自主探究、小組討論，形成方案后匯報交流. 部分學生有過解決此類問題的經驗，容易想到配對，但是對配對的真正目的不是很理解，所以這個問題中設定了奇數項的等差數列求和，引導學生發現配對時可能出現不是整數對的情形，也為接下來的奇偶項的討論和倒序相加法做好鋪墊.

預設方案4：從形的角度研究，切掉左邊的兩列，如圖5所示.

預設方案5：從形的角度研究，切掉左邊的三列，如圖6所示.

【設計意圖】圖6左半部分對應一個常數列，學生直觀感知到相同的數相加可以轉化為乘法，呼應了前面的配對思想.在學生已經掌握了“補”的方法后再提出這一問題，比較自然地引出了“割”的方法，引導學生學會從幾何角度給出不同的解釋，也為推導等差數列前[n]項和公式的第二種形式進行鋪墊.

這一環節的設計，讓學生充分感受到可以從數和形兩個角度對等差數列進行求和，經歷自主推導公式的過程，感受配對的實質是將等差數列轉化為常數列，從而將加法轉化為乘法，使復雜問題簡單化.

4. 引導歸納，建立模型

問題4：如何推導出等差數列[an]的前n項和？

追問1：對于一個等差數列[an]，要已知哪些量才可以求出前n項和？

【設計意圖】復習時已經明確an，a1，n，d四個量可以“知三求一”，追問1可以繼續內化這個知識點. 當學生遇到“已知an，d，n”的情形，經過引導和討論，學生能夠從多個角度理解其等同于“已知a1，d，n”的情形，使接下來的研究途徑更加合理.

【設計意圖】研究具體數列的求和后，學生將探究過程中使用的方法遷移到一般的等差數列[an]中，繼續內化倒序相加法，并利用追問讓學生進一步理解“為什么要配對”“為什么能配對”，并闡述原因.

【設計意圖】通過使用“割”的方法，從形的角度給出了公式的直觀解釋，也讓學生感受到等差數列的求和問題其實可以轉化為“求[1+2+…+n]的值”的問題，體現了轉化與化歸的思想.

追問5：你能發現這兩個公式之間的關系嗎？

追問6：對比上述推導Sn的方法，你覺得哪種方法更簡潔？

【設計意圖】已知a1，d，n推導Sn本質上就是“求[1+2+…+n]的值”. 從而引導學生發現最簡潔的還是倒序相加法.經過這樣的比較分析，讓學生理解等差數列的前n項和公式是形式化的表達，推導公式的目的是應用的簡潔，追求簡潔是數學研究的基本原則.

5. 數學運用，鞏固深化

【設計意圖】例1是對等差數列的前[n]項和公式的直接應用. 通過對例題的解決，使學生鞏固對公式的認識，會根據題設條件合理地選用公式求值. 同時，明白選擇公式的原則是追求簡潔.

重點講解圖9中的深色區域，即圖10（從不同的角度看，得到不同的等差數列）.

【設計意圖】例2與問題1呼應，回歸實際問題，引導學生從不同的角度分析問題，培養創新意識.

練習：在等差數列[an]中，設[an]的前n項和為Sn.

（1）已知a1 = 3，a50 = 101，求S50;

（2）已知a1 = 3，d =[12]，求S10.

【設計意圖】再次鞏固對公式的理解. 公式的應用其實就是從一般到特殊的過程.

6. 總結反思，升華理解

回顧與反思：這節課你有哪些收獲？學到了哪些知識？體會了哪些思想？

【設計意圖】本節課采用開放式課堂小結，引導學生回顧學習過程，從知識、方法、思想幾個角度進行總結，積累經驗，促進學生反思升華、感悟思想、提升素養.

7. 分層作業，因材施教

（1）鞏固運用：教材第47頁習題第1 ～ 5題.

（2）拓展思考：若等差數列的通項公式[an=fn]是關于n的函數，你能從函數角度研究其前n項和Sn嗎？

【設計意圖】分層布置作業，面向全體學生，繼續深化等差數列前n項和公式的應用. 同時，為學生提供運用函數觀點研究Sn的平臺.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.