讓思維插上科學的翅膀

張鵬 曹永芹

摘? 要：思維的價值在于它是探尋本質的方法，是獲得結果的過程，更是潛能發展的必需. 近幾年來，教學中越來越注重對學生思維能力的培養. 文章以一道解析幾何試題為切入口，通過周密審題、思路探究、解題策略、深度思考四個方面，淺談對培養學生科學思維能力的一些思考.

關鍵詞：科學思維;周密審題;思路探究;解題策略;深度思考

科學思維，也叫科學邏輯，即形成并運用于科學認識活動、對感性認識材料進行加工處理的方式與途徑的理論體系. 它是真理在認識的統一過程中對各種科學的思維方法的有機整合，是人類實踐活動的產物.

思維的價值在于它是探尋本質的方法，是獲得結果的過程，更是潛能發展的必需. 近幾年來，教學中越來越注重對學生思維能力的培養. 隨著我國教育體制改革的推進，以及社會對人才素質要求的提高，對學生綜合能力和素質的培養提出了更高要求，所以教師在教學上應該加強培養學生嚴謹的科學思維能力.

數學題目中包含著典型的數學思想和深刻的數學思維. 教師精選出富有探究性和能夠切實提升學生思維能力的典型題目，經過適當的推廣、變式、轉換、分解等立體式的精心設計，在深度上挖掘“資源”的深刻性，在廣度上拓展“資源”的功能性. 進而在課堂教學中引導學生揭示問題的本質，從不同角度發現問題的真諦. 這樣，方能有效拓寬學生的解題思路，培養學生的探究能力.

筆者以一道解析幾何題目作為切入口，通過周密審題、思路探究、解題策略、深度思考四個方面，淺談對培養學生科學思維能力的一些思考，期盼能夠啟發學生思維，使學生的思維更具深度，進而產生觸類旁通、舉一反三的教學效果.

一、重周密審題，促進思維發展

審題是對題目中原有條件的正確理解、合理改造和深入加工. 很多錯解產生的根源就在于審題能力不足. 例如，審題不清而看錯信息，審題不嚴而遺漏信息，審題不準而“想當然”地加工信息，審題不深而找不出條件間的必然聯系. 可見，細致周密的審題是解題成功必須具備的前提條件. 波利亞認為，學生沒有弄明白問題就開始演算與作圖是解題中最糟糕的現象. 因此，波利亞的《怎樣解題》將解題這一過程進行了步驟的分解，其中，“弄清問題”這一步便是要求學生從多角度進行題意的觀察，使得問題的實質得到洞察并因此確定解題方向. 由此可見，審題對于學生思維的啟動是最為關鍵的.

1. 抓題中“幾何動作”，按“動作”順序作圖

解析幾何的研究對象是幾何圖形，故而充分理解和深入挖掘幾何圖形的特征和性質應優先于代數的運算，即先用幾何眼光觀察，再用坐標法解決.

有些學生一看到解析幾何題目就束手無策，這都是因為“無形”. 圖形在求解解析幾何問題中起著非常重要的作用，教師著重于在教學中滲透數形結合思想，培養學生的幾何直觀能力. 幾何直觀本質上是一種通過圖形所展開的想象能力，《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）指出，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探究解決問題的思路、預測結果. 幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中發揮著重要作用.

在此題中，我們可以抓住以下“幾何動作”理解題目.

通過從幾何直觀的角度審視題目，將文字描述語言形象化、圖象化表達，有助于學生進一步理解和分析問題，有助于培養學生的形象思維，意在做題之前做到胸有成竹.

2. 幾何條件代數化，點線關系不缺失

正所謂“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，幾何條件代數化就是借助數的精確性和規范嚴密性來闡明圖形的某些屬性，通過數理論證、數量刻畫，以獲得結論，即以數為手段、以形為目的.

在此題中，我們可以將一些幾何條件用相應的數學符號或數學表達式進行表達，即將幾何條件轉換為代數關系.

（3）將條件“直線[AP]與橢圓[C]交于另一點[B]”表達成“交點[B]（聯立方程組可得其坐標）在橢圓上，滿足橢圓[C]的方程”.

（4）將條件“判斷直線[AB]與直線[OP]的位置關系”表達成“[kAB=kOP]”.

將題目中的幾何條件轉化為數學符號，是學生具有抽象化思維的具體體現. 符號是數學的基本工具，也是學習數學的主要內容. 熟練掌握用數學符號表達數學對象有助于學生對題目信息的加工和處理.

對于點[A]和點[B]，我們應有充分的理解. 點是解析幾何中最基本的元素，對點的認識與表征是否到位，在解析幾何問題的解決上有著重要的意義，即要認清點的多重身份. 學生都很清楚“若點在曲線上，則點的坐標滿足曲線的方程”，而“點又可以看成是曲線的交點”，對于點的這一重身份的認識與運用，學生就顯得相對薄弱. 波利亞在其著作《數學的發展》第一章“雙軌跡模型”中列舉了大量的例子，足以說明幾何中對點的這一認識的重要性. 在教學中，教師有必要讓學生對點與曲線的關系有這樣的辯證認識. 而且在解析幾何問題中，點在某曲線上往往是直接給出的，然而要把點看成是曲線的交點，有時需要一定的分析才能顯現出來，這又加大了問題解決的難度.

因此，對題目條件進行不同角度的分析與挖掘，將對點[A]和點[B]的身份有不同的認定. 這樣多角度地思考問題，既會產生不同的解題方法，又有利于提升學生科學嚴謹的思維能力.

二、重思路探究，體驗思維過程

大家往往會認為平面解析幾何的本質是用代數方法來研究幾何問題，其過程中的運算要有毅力. 笛卡兒將坐標法引入幾何，解決了“形缺數時難入微”的問題，而且實現了“以算代證”的算法統一，但是這并不意味著要拋棄傳統的挖掘幾何圖形性質的研究方法.

對題目中的信息進行分析、整理、合成，這是思維的過程. 教師引導學生多角度、縱深交錯、逆向、高位地分析信息間的內在聯系，使學生充分體驗研究問題的思維過程，在一系列的思維活動中，培養和提升學生的科學思維能力.

在分析題目第（2）小題時，教師可以對學生提出如下問題，讓學生進行思考.

問題1：試猜想直線[AB]與直線[OP]有怎樣的位置關系？有何根據？

問題2：如何理解題目中的“對稱”關系？它有怎樣的幾何或者代數的等價轉換？

問題3：如何理解點[B]？它是橢圓[C]上的點還是幾何圖形的交點？將點[B]與其他幾何圖形一起分析，又能帶來怎樣的幾何或者代數的等價轉換？

問題4：經過上面的深入思考，如何確定直線[AB]與直線[OP]的位置關系？是“從條件談起”還是“從結論入手”？

問題5：嘗試理清其中的邏輯關系，以流程圖的形式呈現解題思路.

解題思路流程圖能夠清楚地展現解題的邏輯思維，能將解題策略以流程圖的形式具體表現出來，能幫助學生理解題目中條件與結論之間的內部關系. 對于題目的第（2）小題，給出如下兩種解題思路及對應的解題思路流程圖.

思路1：從條件談起.

題目條件中的“幾何動作”詳細地描述了幾何元素之間的關系. 因此，我們可以從條件出發分析題目，設計解題流程圖. 我們由圖1易知直線[PB]和直線[PA]關于直線[l]對稱，因此這兩條直線的斜率互為相反數. 故而，只需將兩條直線中的一條與橢圓聯立方程求解得出交點坐標，另一交點坐標可由斜率關系得到. 可以看出，求解點[A，B]的過程是一樣的、相關的，因此，在設計解題流程時可以“并行”設計. 這樣，就能順利得出直線[AB]的斜率[kAB，] 進而與直線[OP]的斜率[kOP]進行比較便可得證. 解題流程圖如圖2所示.

【評析】解法1重點研究了“對稱”關系，具體體現為對稱直線的斜率關系和隱去點[A，] 將點[A]的作用轉嫁到點[B]. 進而靈活運用根與系數關系，得出直線[AB]的斜率，省去了很多運算過程.

思路2：從結論入手.

從結論入手是利用分析的思維方法思考問題，將它運用到解析幾何當中進行求解是常用的方法. 首先，我們猜測直線[AB]與直線[OP]的位置關系，并將此結論作為已知進行證明，進而得到與題目條件相符合的情況. 在此題中，由圖1可以猜測直線[AB]與直線[OP]是平行的，故而兩條直線的斜率相等，便知直線[AB]的斜率，得到直線[AB]的方程. 再由對稱關系得到直線[PA]的斜率，得到直線[PA]的方程. 依照題目中的“幾何動作”，我們將直線[AB]與直線[PA]聯立求得點[B]的坐標，再將點[B]代入橢圓方程，成立即可. 解題流程圖如圖3所示.

【評析】解法2先假設兩條直線平行，利用假設，求出點[B，] 再將點[B]帶入橢圓方程，若成立，則假設成立. 其中，先利用“對稱”關系求出點[A]的坐標，將點[B]理解為兩條直線的交點，進而將點[B]帶入橢圓方程，化簡即可.

三、重解題策略，優化思維品質

思維是智力與能力的核心. 思維是人腦對客觀事物的本質與事物內在的規律性關系的概括和間接的反映. 思維的本質是具有意識的人腦對客觀事物的反映，它反映的是一類事物共同的、本質的屬性，以及事物間內在的、必然的聯系.

思維品質，實質是人的思維的個性特征. 思維品質反映了個體智力或思維水平的差異，主要包括深刻性、靈活性、獨創性、批判性、敏捷性和系統性六個方面. 優秀的思維品質來源于優秀的邏輯思維能力. 良好的數學思維品質是高考考查的重點，尤其是對數學思維敏捷性的考查更加體現了高考命題的獨具匠心.

有研究表明，中學生的數學學習選擇能力是影響學習成績的重要因素，兩者呈現較高的正相關. 解析幾何是用代數的方法研究幾何問題，即通過引入變量建立方程或函數關系解決問題. 在具體的解題過程中設什么未知量是一個值得仔細考慮的問題. 很多學生做題時處于一種慣性狀態，一有思路便立即進入運算階段，而不去分析要算什么、怎么計算會更好，結果導致問題求解困難.

從例題兩種解法的思考角度可以看出，解法1比解法2的運算要簡單一些，思維上有“妙”之所在，抓住了解決問題的本質，恰當利用“對稱關系”，巧妙算出點[B]的橫坐標，使問題得到簡化. 解法2雖然在運算能力上有一定的要求，但整體思路清晰明確，常規易想.《標準》強調，培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題.

兩種解法在思維上都有可以借鑒之處，在解題教學中應該及時給予總結和突破. 解題教學不僅要教會學生解題，更重要的是思維層面的點撥與培養，這樣便不失解題教學的意義. 因此，重解題策略的優化與選擇，方能使學生思維的靈活性、廣闊性和深刻性得到訓練.

四、重深度思考，提升思維創新

一切問題的根源都在于思考，而更重要的在于深度. 這里的深度不僅指縱向的，也指橫向的，或者說即綜合了各種情況，又選取幾種情況進行更進一步的挖掘. 深度思考的目的，是要解決問題，是踐行三思而后行.

深度思考，方能完善認知、提升思維. 只有對數學思想和數學方法理解透徹、融會貫通，才能提出新看法、巧解法. 針對上述例題，筆者做出如下思考.

思考1：如果弱化第（2）小題中“點[A]為第四象限內一點”這個條件，我們能否判斷直線[AB]與直線[OP]的位置關系呢？

在題目的探究過程中，逐步深入、環環相扣，運用多途徑、多思維進行探究、拓展和變式思考，馳騁想象，縱橫聯想，觀察分析數學問題的實質. 在挖掘問題及解決的過程中蘊含著數學思維和數學思想，同時猜想探求適當的數學規律. 這種回歸問題本身的探究思考，既使得錯綜復雜的幾何圖形有了“四面湖山收眼底”的美感，又提升了學生的科學思維能力，能夠引起學生對經典試題的重視，激發學生的學習興趣.

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