題目分析

徐勇

摘? 要：在評講例、習(xí)題時，我們不應(yīng)僅滿足于得到答案，或停留在糾錯的層面，還應(yīng)該根據(jù)題目特點(diǎn)進(jìn)一步挖掘與探究，努力從做對走向探究，拓展學(xué)生思維的深度與廣度，從而提升學(xué)生的探究意識和思維能力.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維;數(shù)學(xué)探究;學(xué)習(xí)力

做數(shù)學(xué)題，學(xué)生常常滿足于快速得出答案，這在限時考試環(huán)境中無可厚非，但在平時的學(xué)習(xí)中，我們對一些題目的解答不應(yīng)僅滿足于得到答案，或是停留在糾錯的層面，可精選部分題目進(jìn)行進(jìn)一步的挖掘與探究.

數(shù)學(xué)探究是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》特別安排和提倡的一種學(xué)習(xí)形式，是圍繞某個具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程. 通過數(shù)學(xué)探究能培養(yǎng)學(xué)生主動思考、敢于質(zhì)疑、勇于創(chuàng)新的思維品質(zhì). 基于探究的數(shù)學(xué)課堂，會有廣闊的思維空間，常現(xiàn)鮮活的思維火花.

在一次模擬考試中，有一道解析幾何題學(xué)生得分較低，試卷提供的參考解答學(xué)生能看懂并理解，但若按參考答案評講試題，似乎不能充分挖掘其中的價值. 這道題中的橢圓定點(diǎn)、定值問題是一個很適合進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的素材. 于是在實(shí)際教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生對這道橢圓綜合題進(jìn)行了深入探究.

師：總體來說，大家沒解好此題的原因有二：一是“懼”于大的運(yùn)算量，信心不足;二是“礙”于思路不清，沒能打通條件到目標(biāo)的思維通道.

二、調(diào)整視“序”得另解

師：以上參考解答中，點(diǎn)[M，N]是由直線[l]與橢圓相交得到的，我們調(diào)整點(diǎn)線形成順序，想一想還可以將點(diǎn)[M，N]看成是怎樣形成的.

師：這種解法雖然計(jì)算量很大，但是思路清晰，只用一個變量[k]來表示所用到的點(diǎn)，直接運(yùn)用求根公式，想法簡單直接，但需要敢于運(yùn)算. 還能變換為其他的視角求解嗎？

三、簡化條件悟本質(zhì)

師：在解法2和解法3中，既沒有用到斜率[k，] 也沒有用到[t，] 即直線[l]是冗余條件，將它去掉可能更簡潔、處理起來更簡單.

師：橢圓具有對稱性，題中涉及兩個焦點(diǎn)，也有平行關(guān)系，能否從橢圓的對稱性角度對題目中的條件進(jìn)行簡化？

生5：因?yàn)槠叫嘘P(guān)系，我想將線段[F1M]平移到與線段[F2N]共線，這樣就不需要左焦點(diǎn)，問題變成常見的焦點(diǎn)弦問題.

師：利用對稱性，減少一個焦點(diǎn)，條件變成過右焦點(diǎn)的一條直線與橢圓形成的兩個點(diǎn)，問題就變成了典型的焦點(diǎn)弦問題，這樣使用根與系數(shù)關(guān)系就比較順暢，簡單易操作，運(yùn)算成本更低. 此時，問題可以簡述為：過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)與橢圓右頂點(diǎn)連線的斜率乘積為定值. 為了進(jìn)一步弄清問題的本質(zhì)，試?yán)^續(xù)探究這個定值與橢圓的方程有什么關(guān)系，這個定值又該如何表示.

師：這樣，我們就清楚了問題的來龍去脈. 橢圓中的定值與定點(diǎn)問題是個經(jīng)典問題，我們能否對此問題進(jìn)行逆向思考呢？

四、增加設(shè)問用信息

師：再回到原題，既然上述問題都可避開點(diǎn)[T，] 那么如何設(shè)問，才能切實(shí)地用上點(diǎn)[T.] 為了簡化，不妨將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程直接給出，在保留原題目第（2）小題的基礎(chǔ)上，在第（2）小題前再添加一道小題，將題中條件用足、用好.

涂榮豹教授提出“教會思考”，即教會學(xué)生提出問題，教會學(xué)生尋找方法，以及教會學(xué)生研究問題的“一般方法”. 在數(shù)學(xué)探究活動中學(xué)思考，有利于讓學(xué)生學(xué)會如何想得更清晰、更深入、更全面、更合理. 簡而言之，數(shù)學(xué)思維宜在數(shù)學(xué)思想活動中學(xué)會，數(shù)學(xué)素養(yǎng)宜在數(shù)學(xué)探究活動中形成. 數(shù)學(xué)探究活動并非一定要在每節(jié)課中都進(jìn)行，我們可以針對學(xué)情靈活地選取合適的素材進(jìn)行適時探究.

參考文獻(xiàn)：

[1]涂榮豹. 數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)原理的構(gòu)建：教學(xué)生學(xué)會思考[M]. 北京：科學(xué)出版社，2018.

[2]祁平. 基于探究的數(shù)學(xué)教學(xué)的哲學(xué)思索[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2014，53（8）：22-28.