多媒體輔助教學 孕育創新思維

朱曉玲

[摘? 要] 文章記載了“直線與圓的位置關系”一課的教學預設和教學過程. 教師在設計教學時依托溫故知新、一題多變、一題多解，讓學生感受數學探究的過程，孕育創新思維. 通過教學實踐，研究者提出多媒體的融入是創新思維培養的需要和變式訓練是培養創新思維的必然選擇的認識.

[關鍵詞] 創新思維;一題多變;一題多解;培養

當下，科技迅猛發展，各種各樣的科學技術影響著人們的生活，自然也不可避免地影響到教與學的方式，將多媒體技術引入課堂是實現教育現代化的重要任務，基于此，多媒體技術與課程的整合自然應運而生. 在多媒體輔助下，創設逼真的教學環境，讓知識的呈現一目了然，給予學生形象而直觀的數學體驗，進而有效地拓展思維空間，孕育創新思維. 下面筆者以“直線與圓的位置關系”一課為例，談談利用多媒體輔助教學，喚醒創新意識的教學思路.

[?]教學內容分析

高中生在初中階段已經對直線與圓的位置關系具備了一定的研究能力，雖然本班是普通班，但是學生勤于思考，并有著較好的基礎，從而為此節課的學習奠定了良好的基礎.

1. 教學目標

（1）認知目標：探索判斷直線與圓位置關系的方法，熟練掌握并準確運用圓的半弦、弦心距及半徑間的關系.

（2）能力目標：通過學習，發展猜想能力和合情推理的能力，體會數形結合的思想和方法.

（3）情感目標：直觀、動態感知多媒體對于研究幾何圖形的諸多優勢，感悟數學美.

2. 教學重點和難點

在直觀體驗中通過對圖形的觀察，強化發現問題的意識，滲透變化的觀點;在問題的解決中建立數學內在美的感受.

3. 教學方法

充分利用多媒體技術輔助教學，讓學生感受幾何畫板和PPT的有效應用.

[?]教學過程

1. 依托溫故知新感悟新知

問題1：試著說一說判斷直線與圓位置關系的方法.

問題2：圓的半弦、弦心距及半徑之間有何關系？

設計意圖：學生基于初中階段對知識的認識可以準確描述以上問題. 通過以上問題的復習與回顧，在思考和提煉中，準確得出結論.

2. 依托一題多變訓練思維

例1：試判斷圓x2+y2+2x+4y-3=0上到直線l：x+y+1=0的距離為的點有幾個.

分析：借助d與r的關系來判斷圓與直線的相對位置關系，這是學生可以完成的，這里學生很快通過判斷交點的個數確定點的個數. 之后，教師再以PPT動畫展現整個過程，讓學生直觀發現有3個這樣的點.

變式題組：

變式1：試判斷圓x2+y2+2x+4y-3=0上到直線l：x+y+1=0的距離為1的點有幾個.

變式2：試判斷圓x2+y2+2x+4y-3=0上到直線l：x+y+1=0的距離為2的點有幾個.

變式3：試判斷圓x2+y2+2x+4y-3=0上到直線l：x+y+1=0的距離為3的點有幾個.

變式4：試判斷圓x2+y2+2x+4y-3=0上到直線l：x+y+1=0的距離為5的點有幾個.

學生再一次借助相同的分析方法，直觀而準確地得出結論.

設計意圖：例1和變式分別從直觀感知和反復訓練中抽象出對幾何圖形的認識，發現規律. 以上的設計并未直接給出問題的結論，僅僅是利用直觀功能豐富了學生對新知的直觀感悟，將知識與方法的探索融入問題之中，激起數學思考，積累探究活動經驗，優化數學思維.

例2：已知圓x2+y2=1，試求出直線l：y=k（x-2）+3與圓有兩個交點時k的值，一個交點時呢？沒有交點呢？

分析：作出圖1，可以發現直線l本質上就是含有參數k的過定點P（2，3）的直線系. 更進一步地，一邊觀察，一邊利用幾何畫板進行操作，從臨界位置開始，經歷沒有交點到有一個交點，再到有兩個交點，再到有一個交點，最后回到沒有交點的過程，從而得出相切時直線的斜率是臨界位置的k值，這樣，通過一種自然的方式探索得出結論卻不失其本質.

變式1：如圖2，已知圓x2+y2=1，試求出直線l：x+y-m=0與圓有兩個交點時m的值，一個交點呢？沒有交點呢？

變式2：如圖3，已知曲線y=，試求出直線l：y=k（x-2）+3與曲線有一個交點時k的值，兩個交點呢？沒有交點呢？

變式3：如圖4，已知曲線y=，試求出直線l：x+y-m=0與曲線有一個交點時m的值，兩個交點呢？沒有交點呢？

設計意圖：由于本節課僅僅是深入研究直線與圓的位置關系，所以這里的變式訓練主要是為了在關鍵處撥動學生的思維. 這里從簡潔干練的例2出發設計變式題組：變式1改變了直線方程，并引入了新的參數，以探究位置關系找尋到臨界位置和觀察直線縱截距的變化過程;變式2則完成了從圓到半圓的變化，引導學生在觀察位置關系和交點變化中形成認識;變式3中的曲線方程和直線方程都有了變化，從而跳躍到更加一般的情形下. 在這樣改變題設條件的變式題組中，在幾何畫板的動態演示下，讓學生更加深入地理解問題本質，利于在數學問題中尋求真理，喚醒創新思維[1].

3. 依托一題多解活化思維

例3：已知直線l：mx+3y-4m-6=0和圓C：（x-1）2+（y-2）2=16.

（1）求證：圓C與直線l相交;

（2）試求出直線l被圓C截得的弦長最短時直線l的方程，截得的弦長最長呢？

分析：第（1）問難度較小，學生可以運用多種方法予以證明;對于第（2）問，學生可以在直線l的動態變化中得出弦長最短時的情形，即l⊥CP（如圖5），且明晰直線l過圓心C時截得的弦長AB最長. 不過，由于此處l⊥CP時弦長AB最短這一情形說明起來有一些難度，不失時機地運用幾何畫板動態證明就顯得十分必要了，它直觀而簡潔地完成了證明過程.

引申：試求出直線l被圓C截得的弦與圓心C構成的三角形面積最大時直線l的傾斜角.

學生經過思考后，易生成以下思路：

解法1：如圖6，從三角形的面積入手，求以AB為底邊，圓心C到直線l的距離為高的三角形面積. 設直線l的方程為y-2=k（x-4），則圓心C到直線l的距離是d=，弦AB=2，S=AB·d=3. 令t=（0

t-

+. 當t=時，即k=±2時，μ=，（S）=8. 當斜率k不存在時，S=3<8. 所以當直線傾斜角是arctan2或π-arctan2時，面積最大.

解法2：從面積的表示入手得出面積公式S=absinθ，且圖6中的三角形為等腰三角形，當兩半徑夾角為90°時面積最大，從而借助等腰直角三角形線段的大小關系易得r=d，進而得出正確結論.

解法3：由解法1中S=AB·d=md，且m2+d2=r2，易想到借助基本不等式解決本題：當且僅當m=d時面積最大，進而得出正確結論.

設計意圖：這樣的問題在后期的數學學習中經常會遇到，這里教師鼓勵學生一題多解，引導學生更深層次地看待問題，從一般性解法到創新解法，逐步開啟思維閘門，更好地把握知識間的聯系.

[?]教學反思

1. 多媒體的融入是創新思維培養的需要

新課程教學以發現學生核心素養為導向，著力創設利于數學抽象和數學思維的教學情境，將思維能力的培養落到行動上[2]. 多媒體的融入為數學課堂教學注入了新的活力，學生在直觀體驗的刺激下形成了新的活動體驗，完成了重難點的突破，實現了創新思維的孕育. 本課中，學生對位置關系的理解很大程度上來自于對直觀圖形和動態圖形的直觀感悟，利用幾何畫板進行演示既培養了學生的直觀想象，又讓學生直觀感受到數學的內在美，同時很好地孕育了創新思維.

2. 變式訓練是培養創新思維的必然選擇

變式訓練不僅可以優化解決問題的思路，也是培養創新思維的必然選擇，它是教師課堂訓練的最重要方式. 本課中的一題多解和一題多變正是學生在自我探索和集體討論中獲得的結論. 通過這樣的訓練形式將學生的已有知識完整匯總，真正做到“一葉知秋”. 同時，教師在預設的框架下應對學生的生成作出肯定、鼓勵和說明，如一名學生在一題多解的活動中聯想到“補三角形為菱形，且該菱形為正方形時面積最大”這一思路，這就是一個很好的創新思維的活動歷程，筆者自然給予了極大的表揚. 就這樣，在一來二去的交流中，讓學生真正理解和掌握問題的本質，實現了創新思維的生長.

總之，如何有效地溝通多媒體與課堂教學碰撞出創造的火花是新課程下每個一線數學教師都需要思考的問題. 創新思維能力的培養并非一蹴而就的，需要融入每一節課中，融化在每一個教學環節中，需要利用多媒體技術，需要聚焦每一個教學元素，讓學生真正進入數學思考的過程，從而提升創新思維能力.

參考文獻：

[1]? 耿克非. 培養學生的創新思維能力[J]. 安徽教育，2004（11）.

[2]? 左俊鳳. 充分利用教材培養學生的探究意識[J]. 中學數學，2003（02）.