一節課，一道題，一次高三數學試卷講評調研

祝霞

[摘? 要] 試卷講評課是高三數學后期教學的一種重要課型，教師需要遵循其備課四原則，設計出行之有效的教學方式和策略，打造高效的教學課堂，實現提升學生綜合運用知識的能力，以及促進學生數學核心素養發展的目的.

[關鍵詞] 試卷講評課;高效課堂;師生互動;核心素養

測試是檢測學生知識掌握程度的一種非常有效的途徑.通過分析學生的答卷情況，可以及時了解到學生目前的學習狀況以及已有的學習能力，鎖定學生的問題所在，測試以后要針對學生暴露出的問題進行及時講評. 試卷講評課具有目標定向的激勵功能、概念糾錯的診斷功能、方法提煉的示范功能和知識拓展的補償功能[1]. 通過講評試卷能夠幫助學生彌補弱點，突破難點，熟練技能，拓寬思路，進一步提升綜合運用知識的能力，促進學生數學核心素養的全面發展.一般情形下，教師準備好一節試卷講評課需要遵循其備課的四原則 ——及時性原則、針對性原則、試卷量化分析原則和延伸拓展性原則[2].

在高三數學復習的最后階段，試卷講評課是教學的常態課，是尤為重要的一種課型. 2020年4月30日，筆者本人非常榮幸被市教科院調研一節試卷講評課，下面結合這一節課的課前分析、課堂實況及課后研討反思，談談自己的體會.

[?]課前分析

認真仔細批閱完試卷后，筆者全面細致分析了答卷的情況，發現問題主要集中于三道題目：首先是填空題的第14題，涉及的內容是向量、解三角形、函數的相關知識的融合;其次是解答題的第19題，考查函數的零點;最后是解答題的第20題，考查新定義數列.針對向量與三角以及函數的結合是江蘇高考數學填空題的熱點內容，常出現在第12、13、14題的位置，并且近幾年江蘇高考數學試卷填空題的第13、14題的難度略呈下降趨勢，結合我們班級學生的實際情況，筆者決定在講評課上對第14題進行詳細地探究.

[?]課堂實況

試卷的第14題：在△ABC中，∠A=，點D滿足=，且對任意x∈R，

x+

≥

-

恒成立，則cos∠ABC=________.

師：大家回顧一下考試時做這一題的思路是什么，自己又是在哪一個環節卡住了呢.

生1：我的想法是首先將不等式中的兩邊進行平方.

師：那你得到的不等式是什么？

生1：我在式子運算中遇到了困難，沒有做出正確的答案.

師：有沒有同學跟他是一樣的想法？能夠解決一下他的難點嗎？

生2：選擇和為基底，將不等式中的換成，然后平方進行運算.

師生共同運算化簡到bx2+cx+c-b≥0.

師：你是如何處理不等式對任意x∈R恒成立的？

生2：利用Δ=c2-4b

c-b

≤0.

師生化簡得到

c-b

≤0，即c=b.

師：得到兩條邊b，c的等量關系，你準備如何求解cos∠ABC？

生2：利用∠A=，c=b，對∠A使用余弦定理先得到a=b，然后可利用余弦定理求出cos∠ABC等于.

師：很好，我們大家一起來梳理一下做題的幾個步驟：第一步，選定基底，利用數量積（平方）將向量式轉化成數量式;第二步，利用Δ處理關于x的二次不等式在R上恒成立;第三步，借助余弦定理求出cos∠ABC.那么我想問問大家除了選擇和作為基底來解決這道題，還有沒有其他的途徑呢？

生3：坐標化，如圖1，以A為坐標原點O，以AB所在直線為x軸建系，可設B（m，0），C（n，n），則D

，

，代入不等式

（nx，nx）+（m，0）

≥

，

-（m，0）

，化簡得4n2x2+2mnx-

-

≥0. 因為不等式對任意x∈R恒成立，則Δ=（2mn）2+16n2

-

≤0，即

-m

≤0，即=m.

師：得到m，n的關系后，你打算利用什么方法求∠ABC的余弦值？

生3：用n表示△ABC各邊的長度，然后用余弦定理求cos∠ABC.

師：很好，這是一種正確的途徑，你既然都算出了各個點的坐標，那可不可以借助別的工具求∠ABC的余弦值？

生4：想到了數量積公式cos∠ABC=.

師：這也是很好的一種途徑，我們求夾角的余弦值，可借助余弦定理，也可借助向量的數量積. 對于向量式的轉化我們可以選擇用基底法，也可以直接坐標化，將向量式向數量式轉化. 我們再觀察不等式

x+

≥

-

，左右兩邊涉及的是向量和的模、向量差的模，你還可以從什么角度去處理？

生5：借助向量加法的平行四邊形法則、向量減法的三角形法則. 如圖2，設x+=，則

≥

，所以⊥. 設CD=t，由題可知AD=2t，AC=3t，BD=2t，BC=t，在△ABC中利用余弦定理求cos∠ABC.

師：非常好，從形的角度切入，大大地簡化了我們的計算過程. 對于向量式我們可以選擇的有形和數兩個方向，我們選擇形的方向會快捷很多.下面我們一起來看看幾道變式題，你會選擇什么途徑去解決問題？

變式1：在△ABC中，若對任意t∈R，

-t

≥

-

恒成立，則∠ACB=________.

生5：從形的角度，如圖3，設-t=，

≥

，⊥，∠ACB=.

師：很好，結合具體的問題選擇適合的方法，能達到事半功倍的效果，請看下一道變式.

變式2：如圖4，在△ABC中，AB=，AC=，=，=，M，N分別為DE，BC的中點，若MN⊥BC，則cosA=________.

生6：基底法，選擇和為基底， =-=（+）-（+）=+. 由MN⊥BC，=-，則

+

·（-）=0，故cosA=.

師：在我們無法從形的角度切入時，抓住基底解決向量的相關問題. 請大家再看一道變式.

變式3：在平面直角坐標系xOy中，設點A（1，0），B（0，1），C（a，b），D（c，d），若不等式2≥（m-2）·+m（·）·（·）對任何實數a，b，c，d∈R都成立，則實數m的最大值是_______.

生7：代入坐標化簡得a2+c2+b2+d2≥mac+mbd+mbc.

師：后面如何處理四元變量恒成立問題呢？

有學生說：一個一個地考慮.

師：可以，關于每個變量都是二次，那如何考慮？

有學生說：配方.

師：很好，大家觀察不等式的右側，變量a，d均只出現在一個整體中，我們嘗試對哪些變量先配方呢？

學生：對a，d兩個變量同時配方.

師生一起運算出

a-

+

d-

+

（b2+c2）-mbc≥0，得到

b2-mbc+

c2≥0.

師：下面還剩兩個變量b，c，如何處理呢？

學生：一個看成變量，一個看成參數，利用Δ處理.

師：這一定是二次的不等式嗎？

學生：分類討論.

接著師生共同解決該問題（m的最大值是-1）.

師：遇到已經坐標化的向量問題，我們可以直接借助向量的坐標運算，轉化為純代數問題，對于多元變量恒成立問題，我們通過觀察式子的結構特征，可以采用變換主元的思想一步一步地突破難點.

[?]課后研討

關于如何打造高效的試卷講評課，結合本節課，市教研員及聽課教師達成了以下幾個方面的共識：其一，雖然是試卷講評課，但依然以學生為主體，啟發并引導學生積極主動思考;其二，針對我們學校的文科普通班的實際情況以及近幾年江蘇高考數學試卷情況，選擇第14題涉及的向量、三角以及函數進行突破是合理的;其三，在講評過程中，我們提倡一題多解，發散學生的思維，還要比較分析方法的差異，對方法進行反思，促使學生遇到問題時能夠合理地選擇方法，同時要注重“通性通法”的滲透，多題一解也是講評課中一個不錯的選擇;其四，針對學生容易出現錯誤或者疑難知識點，我們可以通過變式題來強化學生對知識點的理解，促進學生綜合能力的提升;其五，對于填空題而言，我們還可以通過特殊情況或者賦值法以最快的速度得到正確的答案.

[?]課后反思

（1）試卷講評課中，學生會想到一些出乎教師意料的想法，需要教師進行正確的引導，對于錯誤的想法要及時進行修正. 以學生的想法為本，進行探索與嘗試，發散學生的思維[3].

（2）試卷講評課中，應該注意一題多解與多題一解的結合，注重變式與歸納的結合，增強學生綜合運用知識的能力[4].

（3）試卷講評課是幫助學生進一步連通知識網絡框架，讓學生對自己的薄弱知識、模棱兩可的知識重新審視分析的過程，教師不可操之過急，要幫學生搭建好適度的“腳手架”，一步步地引導學生深度學習，發展學生的高階數學思維.

總而言之，高三數學試卷講評課需要以生為本，多維對話，在互動交流中尋找突破;守住基本，收放相宜，在發散與收斂中融會貫通.

參考文獻：

[1]? 張國斌. 聚焦核心素養的高三數學試卷講評課的教學設計[J]. 數理化解題研究，2019（21）.

[2]? 孫將. 淺析高三數學試卷講評課的六個環節[J]. 中學課程輔導（教師教育），2019（01）.

[3]? 潘華東. 追求高效課堂 提升數學素養——一堂高三數學試卷講評課的啟示[J]. 中學數學教學參考，2019（02）.

[4]? 茍知學. 高三數學試卷講評課教學模式的實踐與研究[J]. 中學數學教學參考，2018（11）.