“留數的應用”課堂教學的探索與實踐

殷政偉 姚金然 向文

摘要：《復變函數》是很多高等院校工科專業以及數學專業的必修課，其中“留數的應用”這一節內容豐富，知識點難度大，在教學過程中如果安排不當很容易導致重點不突出，學生不理解等問題。因此本文針對這一部分內容設計了整個教學過程。首先采取“任務驅動法”提出問題，激起學生的好奇心與好勝心，然后采用啟發式，討論式等教學方法引導學生分組討論，積極參與課堂教學，在學生討論的基礎上采用講授法梳理整個知識體系，最后在傳授專業知識的過程中融入課程思政，使專業知識和課程思政同向而行，同頻共振，形成協同效應，從而實現以“立德樹人”為教育根本任務的綜合教育理念。

關鍵詞：復變函數 留數的應用 啟發式教學 課程思政

復變函數是一門古老而又富有朝氣的數學學科的分支，早在19世紀，Cauchy， Weierstrass及Riemann等數學大家就已經為這門學科奠定了堅實的理論基礎。復變函數主要內容是討論復數之間的相互依賴關系，解析函數是其主要研究對象。復變函數論作為一種強有力的工具被廣泛應用于自然科學的眾多領域，如理論物理、空氣動力學、流體力學、自動控制學、信息工程、電子工程及通訊等領域。

復變函數課程是很多高校工科專業的必修課。該課程內容豐富且抽象，學生普遍反映晦澀難懂，所以在課堂教學中如何設計教學使學生們能夠積極主動參與課堂，形成師生互動，提高課堂教學效率是高校老師必須要考慮的一個重要課題。大多文獻從大局觀出發探討了復變函數課程的教學改革與實踐，但對于具體的章節內容的教學設計很少提及，實際上每一堂課的教學設計是一門課程教學的精髓所在。講什么、怎么講、怎么設計問題、如何討論、如何調動學生的積極性，使學生更好地融入課堂等這些都是每堂課的教學設計重點。基于此，本文以“留數的應用”課堂教學為例，從“課堂設計”出發，積極探索和實踐多種教學方法，并融入課程思政，實現專業課的知識教育和思想政治教育的融合，既教書又育人，在日常教學中對學生進行世界觀、人生觀和價值觀教育。

1.以問題為導向引入課題

鼓勵同學們進一步理解這類積分問題（1-4）的本質形式，積極探索這類問題的通用解法。同時也要提醒同學們問題（4）就是本節課要攻克的重點和難點，如果能夠解決問題（4），那么就基本達成本節課的教學目標中的知識技能目標。

這種由易到難，由淺入深，由個別到一般，層層遞進設置問題的方式，不僅容易勾起學生的興趣，更能激起學生的斗志。同時在求解過程中學生能夠真切體會到使用傳統方法求解這些定積分是幾乎行不通的。此時便可以很自然的啟發同學思考：既然在實積分的框架下采用傳統的求解方法無法解決這類積分問題，那么是不是可以跳出實積分的框架，嘗試把這些問題放到復積分的框架下進行解決呢？這樣以“任務驅動”的教學設計使學生的學習不單是知識由外到內的轉移和傳遞，更鼓勵學生主動建構自己的知識經驗，通過新經驗和原有知識經驗的相互作用，充實和豐富自身的知識、能力。

2.應用多教學方法解決問題

在提出問題（4）之后，采用啟發探究式教學方法引導同學們去思考問題（4）的解決方案，鼓勵同學們分組討論，最后根據同學們的討論情況梳理要點，歸納總結。具體教學設計分為以下4個部分。

2.1通過啟發式教學引導學生

首先引導學生復習定義在單位圓周上的復積分的計算過程：

公式（9）的主要作用就是把實積分轉換成復積分，接下來利用留數定理計算復積分就可以了。最后給出具體實例進一步鞏固和檢驗學生對這些知識的理解和掌握情況，依據學生的反饋可以適當地增加或刪減例題。

2.4 在教學過程中提煉和培養數學思維

數學教學不僅是知識的傳授，也是思維活動的教學，因此如何在教學過程中培養學生的思維能力，養成良好思維品質是教學改革的一個重要課題。本節課的教學主要體現了兩種數學思維：轉化思維和逆向思維。

轉化思維是指在解決問題的過程中遇到障礙時，通過改變問題的方向，從不同的角度，把問題由一種形式轉換成另一種形式，尋求最佳方法，使問題變得更簡單、更清晰。在本節教學中把實函數轉化為復函數，把實積分轉換為復積分，即公式（7-9）均是轉化思想的具體體現和應用。

逆向思維也叫求異思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式，敢于“反其道而行之”，讓思維向對立面的方向發展，從問題的相反面深入地進行探索。本節教學中公式（7）的推導正是逆向思維的具體應用。

3.傳授知識的過程中融入課程思政

3.1在解決問題的過程中體會科學研究方法

縱觀問題（4）的整個解決過程，其本質就是把在實積分理論框架下無法解決的計算問題放到復積分的理論框架下，然后采用復積分的計算技巧就可以輕松解決。從這個解決問題的過程中可以啟發學生去感受、體會：在科學研究中，往往會遇到一些困難，在現有的理論框架下無法解決，或者即使勉強解決，也可能由于要求的數學專業知識較多，解決形式較為繁瑣而無法被廣泛推廣，同時這也和數學要求的簡潔美相違背。那么不妨暫時避其鋒芒，努力進一步擴大認知范圍，拓寬自己的知識面，建立更大更廣泛更具有包容性的理論框架，那么在新的理論框架下，這些問題可能就迎刃而解。

3.2在傳授知識的過程中融入人生感悟

教書、育人是教師的兩大職責。作為一名教師，不僅要傳遞知識，還要幫助學生樹立正確的人生觀，價值觀，世界觀。問題（4）的解決過程蘊含了豐富人生哲理和為人處世之道。科學研究中會遇到困難，人生亦是如此。當我們遇到一些我們暫時無法解決的困難，可能在當時的境況中，這些困難似乎是我們人生中無法承受之重，這個時候不妨選擇性遺忘，去開辟一些新的方向，其實熬過最困難的階段，你會發現曾經那些難以承受之重也不過是人生長河中的一些浪花而已。畢竟“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”比“潮平兩岸闊，風正一帆懸”更能給人巨大的成就感。

4.結論

本文主要探討了留數的應用這部分內容的教學設計，但實際上這種以問題為驅動，采用啟發式、探究式的教學方法具有一定的普適性，可以推而廣之。這種教學設計，一方面可以讓學生更好地融入課堂，充分調動學生的積極性和主動性，另一方面探究的過程中去思考，質疑，然后尋找到解決方案這一過程可以讓學生收獲到滿滿的成就感，而成就感正是主動學習的催化劑。文章的最后在德育教育中，注重價值引領，培養學生的思想內涵。

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