廣東3+1+2新高考模式與數學核心素養視域下數學課堂的“同課異構”

朱伯舉

【摘要】廣東試行的“3+1+2”新高考模式后，選考物理與選考歷史的學生在高中數學的學習中要面臨相同的內容.從高中數學核心素養的視角來看，兩類學生的培養目標也是基本一致的.本文主要通過課堂教學片段，探討廣東“3+1+2”新高考模式下物理類與歷史類學生數學課堂教學設計的異同.

【關鍵詞】新高考;數學核心素養;同課異構

本文討論的“同課異構”與傳統意義上的“同課異構”不太一樣，本文的“同課異構”是指在廣東“3+1+2”新高考模式下，在面對相同的數學學習內容的情況下，在相同的高中數學核心素養培養目標下，教師針對選考物理與選考歷史的兩類學生的特點對課堂教學進行“同課異構”，使教學達到殊途同歸的效果.筆者認為，在當前新高考模式下，這是值得我們思考的一個問題.下面筆者以高中數學必修5第二章第3.3節“等比數列的前n項和”中的兩個教學片段為例，淺談一些想法.

【片段一】

根據課本中“國際象棋”問題進行情境創設，我們得到：

1+2+22+…+263.（1）

師：這是一個等比數列求和問題，解決等比數列求和問題時能不能利用公式來解決呢？公式如何推導？

師：推導公式前，我們先看如下問題.棋盤的64個方格上，第1格放2粒小麥，第2格放4粒，第3格放8粒，往后每一格放小麥的數量都是前一格的2倍，直到第64格，現在要多少粒小麥？

很多同學不約而同地寫出：2+22+23+…+264.（2）

師：現在請同學一起觀察式子（1）與（2），它們有什么特點與聯系？

師：這兩個式子都是項數為64項而且公比為2的等比數列的和，而且（2）式是（1）式的2倍.我們

記：S=1+2+22+…+263，（3）

則2S=2+22+23+…+264.（4）

現在相當于利用上面兩個方程求S，你有什么好的辦法嗎？

不難想到，（4）-（3），得S=264-1.

師：（4）式中的第1項到第63項分別是（3）式中的第2項到第64項，兩式相減，這些項都抵消了，這里體現了方程思想.

師：再看如下問題，棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放q粒，第三格放q2粒，往后每一格放小麥的數量都是前一格的q倍，直至第64格，這回需要多少粒小麥？

有了前面的鋪墊，不少學生都會得到下面的過程和結果：

S=1+q+q2+…+q63，（5）

qS=q+q2+…+q63+q64，（6）

由（5）-（6），得（1-q）S=1-q64，即S=1-q641-q.

類比前面的方法，我們很容易求出了（5）式的值，其思想也是構造出一個（6）式，然后錯位相減.但是要注意一點：q=1這一特殊情況對于S=1-q641-q是否也適用？該如何解決該問題？

學生通過討論得出：當q≠1時，S=1-q641-q;當q=1時，該數列為常數列，S=64.

上面求等比數列的和的方法其實就是“錯位相減法”.筆者在滲透類比思想時提出以下問題：

設Sn為等比數列{an}的前n項和，則Sn=a1+a2+a3+…+an，那么Sn的公式怎么推導？上面所用的“錯位相減法”對你是否有所啟發？

在上面的引導下，不少學生完成了以下推導：

Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，（7）

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，（8）

（7）-（8），得（1-q）Sn=a1-a1qn.

再討論q是否等于1：當q≠1時，Sn=a1-a1qn1-q;當q=1時，該數列為常數列，S=na1.至此基本完成了等比數列前n項和公式的推導.

片段一通過問題的改編，給了學生一個解決問題的階梯，或者說向學生滲透了一種解決問題的方法——類比法.

【片段二】

采用與片段一相同的情境創設，得到

1+2+22+…+263.（9）

師：這是一個等比數列求和問題.設Sn為等比數列{an}的前n項和，則Sn=a1+a2+a3+…+an，請探究Sn怎么求.

該片段直接從解決問題的本質出發：如何解決一般的等比數列求和問題？為了引導學生思考，筆者設置了如下思考問題.

（1）回顧等差數列前n項和公式的推導方法（倒序相加求和），它能用來推導等比數列前n項和公式嗎？

（2）已知Sn=11×2+12×3+13×4+…+1n（n+1），求Sn.

這是“等差數列求和”一課的課后練習題目，采用的方法是“裂項相消法”.

通過上面兩個問題，可以看出，求和的本質就是利用數列的結構特征或者利用數列的性質減少項數，從而達到化簡的目的，這是思考等比數列求和公式的一個方向.故教師可以引領學生從解決數列求和問題的本質出發：消除差異，減少項數，而要做到這一點，就要充分利用數列項的結構特征或者數列本身的性質.學生領悟到這一點后，教師從旁給予適當引導，可能出現以下的解法.

解法一：“錯位相減法”

根據等比數列的通項公式an=a1qn-1，得

Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，（10）

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，（11）

（10）-（11），得（1-q）Sn=a1-a1qn.

再引導學生，討論q是否等于1，可得：當q≠1時，Sn=a1-a1qn1-q;當q=1時，該數列為常數列，S=na1.