差分序列空間l_p上Wigner’s定理的證明

趙順心

【摘要】Wigners 定理：任何對稱變換都可以由復Hilbert空間上的線性和酉或反線性和反酉的算子來表示.關于賦范空間上該定理的證明已經相對完善.如果滿映射f滿足函數方程

{‖f（x）+f（y）‖，‖f（x）-f（y）‖}={‖x+y‖，‖x-y‖}（x，y∈X），（1）

我們稱其是滿足相位等距的.本文是將X限定為lp差分序列空間，證明存在這樣的相位函數使得滿足相位等距的條件可以相位等價于一個線性映射.

【關鍵詞】Wigners定理，相位等價，線性等距

一、引 言

在物理量子力學的研究中，Wigners定理的運用起著基礎性作用.事實上，關于Wigners定理的嚴格性詳細證明并不是由Wigner自己給出的，第一次關于該定理的證明是1960年Lemout在文獻[2]中給出的;1990年，Sharma和Almeida在文獻[3]中關于定義在內積空間上的雙射給出了基本的Wigners定理的證明.最近，關于非雙射的Wigners定理的簡短證明在文獻[5]中給出.

X，Y作為賦范空間，如果映射f滿足下面等式

‖f（x）-f（y）‖=‖x-y‖（x，y∈X），

那么映射f是等距的.在文獻[6]中MazurUlam定理推導證明在X，Y空間中每一個滿等距都是一個仿射.如果存在一個函數λ：X→{-1，1}，使得λf是線性等距的，我們稱映射f：X→Y是相位等價于一個線性等距的，在內積空間中證得上述命題是成立的.2012年，Maksa和Páles在文獻[4]中證明了映射f在實內積空間中滿足下面條件

{‖f（x）+f（y）‖，‖f（x）-f（y）‖}={‖x+y‖，‖x-y‖}（x，y∈X）

的解，但是，如果X和Y是其他的賦范空間或者賦準范空間呢？譚和黃在文獻[1]中關于lp空間給出了肯定回答.在這篇文章中，我們主要是在lp差分序列空間上研究該結果，最后證得在該空間上能夠使得滿映射相位等價于一個線性等距映射，這也可以看作 lp空間上Wigners定理的推廣形式.

【參考文獻】

[1]D.N.Tan.Wigners theorem in atomic Lpspaces （p>0）[M].2017.

[2]J.S.Lomont，P.Mendelson，The Wigner unitrayantiunitary theorem，Ann[M].Math，1963（78）：548-559.

[3]C.S.Sharma，D.F.Almeida，A direct proof of Wigners theorem on maps which preserve transition probabilities between pure states of quantum systems[M].Annals of Physics，1990（02）：300-309.

[4]G.Maksa，Z.Páles.Wigners theorem revisited[M].Publ.Math.Debrecen，2012，81（1-2）：243-249.

[5]M.Gyory.A new proof of Wigners theorem[M].Rep.Math.Phys，2004（54）：159-167.

[6]S.Mazur，S.Ulam.Surles transformations isometriques despaces vectoriels normes[M].C.R.Math.Acad.Sci.Paris，1932.

[7]R.E.Powell，S.M.Shah.Summability Theory and Its Applications[M].Van Nostrand Reinhold Company，London，1972.