等價無窮小代換中含加減因式求極限的思考

徐清華 王瑞星 趙清波 吳克堅 劉爍

【摘要】本文用泰勒公式討論了加減因式不可以直接使用等價無窮小替換的原因，并給出加減因式使用等價無窮小替換應滿足的條件.

【關鍵詞】等價無窮小;函數極限;泰勒公式

在高等數學00型不定式求極限的眾多方法中，等價無窮小代換無疑是個很好的工具，它在很大程度上簡化了極限的運算，再結合洛必達法則，往往能達到事半功倍的效果.但對于初學者來說，在使用等價無窮小代換求極限時很容易出錯.在目前使用的教材[1][2]中，都是直接給出乘除因式用等價無窮小代換的定理（本文中以引理敘述），并用例子指出加減因式不可以直接使用等價無窮小代換.但是為什么加減因式不可以用無窮小代換，在什么情況下可以使用卻沒有進一步解釋.這讓很多愛思考的學生特別困惑.文獻[3][4][5]中都提出了加減因式在滿足條件：加減項不是等價無窮小時，可以使用等價無窮小代換.但對為什么不可以直接用無窮小代換都沒有給出解釋.本文從泰勒公式的角度分析了原因，并且重新證明了加減因式使用等價無窮小代換的定理.

引理[1] 設在自變量的同一變化過程中，f1（x）～g1（x），f2（x）～g2（x），且limg1（x）g2（x）存在，則有limf1（x）f2（x）=limg1（x）g2（x）.

例1 求極限limx→0tan x-sin xsin 32x.

錯解 當x→0時，tan x～x，sin x～x，所以

limx→0tan x-sin xsin 32x=limx→0x-xsin 32x=0.

上述的錯誤解法對于初學者來說經常會遇到.錯誤原因在于，當x→0時，錯誤使用了上述引理，認為tan x-sin x～x-x，事實上，tan x-sin x～12x3.例1的正確解法是：

解 當x→0時，tan x～x，sin 2x～2x，1-cos x～12x2，

tan x-sin x=tan x（1-cos x）～12x3，所以limx→0tan x-sin xsin 32x=limx→012x3（2x）3=116.

從上面例子中可以看出，求00型函數極限時，乘除因式可以直接應用等價無窮小代換來計算，但是加減因式不可以直接使用無窮小代換，要先轉換為乘積形式才可以使用，也就是分子、分母要整體代換.下面利用泰勒公式分析其原因.

定理1[2] （泰勒中值定理）如果函數f（x）在x0處具有n階導數，那么存在x0的一個鄰域，對于該鄰域內的任意x，有

f（x）=f（x0）+f ′（x0）（x-x0）+f″（x0）2！（x-x0）2+…+f（n）（x0）n?。▁-x0）n+o（x-x0）n.

上面展開式稱為n階泰勒公式.當x0=0時，也稱為n階麥克勞林公式：f（x）=f（0）+f ′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn+o（xn）.

按照上述公式，函數sin x，tan x在x0=0時的泰勒展開式為

sin x=x-x33！+x55！+o（x5），tan x=x+x33+2x515+o（x5）.

當x→0時，函數的泰勒展開式中起決定作用的是第一項，即x的一次冪，其余都看作x的高階無窮小.于是就有當x→0時，sin x～x，tan x～x.因此，等價無窮小其實是泰勒展開式在x→0時的簡化情形，只取了泰勒展開式的第一項，后面都被當作高階無窮小忽略了.但是，當兩個函數進行加減運算后，會導致這兩個函數泰勒展開式中第一項的抵消，例如，tan x-sin x=x+x33+2x515+o（x5）-x-x33！+x55！+o（x5）=x32+o（x3）.

從上式可以看出，函數sin x和tan x的泰勒展開式相減后，原來起決定作用的第一項被抵消了，這時候如果依然把后面的展開項當作高階無窮小忽略，就會產生原則性錯誤，如上述例1中tan x-sin x～x-x就是這樣的原因產生的錯誤.事實上，當sin x和tan x泰勒展開式的第一項被抵消后，后一項x3開始起決定作用.因此，當x→0時，tan x-sin x～12x3.

那么什么時候加減因式可以使用等價無窮小代換呢？我們有下面的定理.

定理2 設在自變量的同一變化過程中，f1（x）～g1（x），f2（x）～g2（x），且limg1（x）g2（x）存在，limh（x）=0.

若 limf1（x）f2（x）存在且不為1，并且limg1（x）-g2（x）h（x）存在，則

limf1（x）-f2（x）h（x）=limg1（x）-g2（x）h（x）.

若 limf1（x）f2（x）極限存在且不為-1，并且limg1（x）+g2（x）h（x）存在，則

limf1（x）+f2（x）h（x）=limg1（x）+g2（x）h（x）.

證明 當limf1（x）f2（x）極限存在且不為1時，

limf1（x）-f2（x）h（x）=limf1（x）-f2（x）g1（x）-g2（x）·g1（x）-g2（x）h（x）

=limx→x0f2（x）f1（x）f2（x）-1g2（x）g1（x）g2（x）-1·g1（x）-g2（x）h（x）

=limf2（x）g2（x）·limf1（x）f2（x）-1g1（x）g2（x）-1·limg1（x）-g2（x）h（x）.

由引理有limf1（x）f2（x）=limg1（x）g2（x），于是有

limf1（x）-f2（x）h（x）=limg1（x）-g2（x）h（x）.

類似地，可證明limf1（x）f2（x）極限存在且不為-1的情形.

定理2表明，加減因式可以使用等價無窮小代換，但是要滿足一定的條件.這也可以從泰勒展開式的角度來進一步解釋，當limf1（x）f2（x）≠1時，函數f1（x）與f2（x）的泰勒展開式的第一項不相同，兩個函數相減沒有消掉泰勒展開式的第一項，所以有f1（x）-f2（x）～g1（x）-g2（x）.同樣，當limx→x0f1（x）f2（x）≠-1時，函數f1（x）與f2（x）的泰勒展開式的第一項不互為相反數，兩個函數相加沒有消掉泰勒展開式的第一項，因此，f1（x）+f2（x）～g1（x）+g2（x）.

上述例1中，由于limx→0tan xsin x=1，不滿足定理2的條件，所以不能直接使用等價無窮小代換.

例2 求極限limx→0tan 2x-sin xx.

解 當x→0時，tan 2x～2x，sin x～x，且limx→0tan 2xsin x=limx→02xx=2≠1，所以由定理2有，limx→0tan 2x-sin xx=limx→02x-xx=1.

例3 求極限limx→0arcsin 3x2-2x23x2+sin 2x2.

解 當x→0時，arcsin 3x2～3x2，sin 2x2～2x2，且limx→0arcsin 3x22x2=limx→03x22x2≠1，

limx→0sin 2x23x2=limx→02x23x2≠1，所以由定理2，

limx→0arcsin 3x2-2x23x2+sin 2x2=limx→03x2-2x23x2+2x2=15.

在現行的教材中，為了避免使用錯誤，直接規定：使用等價無窮小代換計算00型極限時，必須是分子或者分母整體代換，加減因式必須轉換為乘積形式才可以代換.這樣的規定讓學生感到困惑，如果有了定理2，學生的困惑就會迎刃而解.另外，像上述例3，分子或者分母都很難轉換為乘積形式，如果使用洛必達法則，計算則很煩瑣.但是，如果使用定理2的結論，類似例3這樣的極限問題的計算就會簡便很多.因此，在實際教學中，可以把定理2的結論引入課堂，給學有余力的同學更多思考的空間，讓不定式的極限計算更加簡便.

【參考文獻】

[1]趙清波.醫用高等數學：第3版[M].西安：第四軍醫大學出版社，2014.

[2]同濟大學數學系.高等數學：第7版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]趙瓊.用等價無窮小代換求極限的兩個誤區[J].高等數學研究，2009（05）：17-18，21.

[4]郭欣紅.等價無窮小代換在含有和差運算式中的應用[J].北京工業職業技術學院學報，2018（03）：26-29.

[5]冉金花.用等價無窮小替換求極限使用條件的探討[J].科技資訊，2019（27）：222-223.