學生數學運算中的“乘法分配律泛用”問題探微

王小梅 湯強

【摘要】學生在學習數學運算時一般會不自覺地將乘法分配律遷移過來，造成運算錯誤，教師往往采用特殊值法進行驗算后便不再進行深入分析，這便錯過了一次改進教學和幫助學生學習的機會.本文對學生的錯誤進行深入分析，總結出這類運算錯誤的原因有：對數學概念理解不深刻;對數學符號認識不充分;對數學的符號或形式認識比較單一.所以，在教學中應該重視數學概念的本質，有意識地加強數學符號教學.

【關鍵詞】乘法分配律;數學運算;負遷移

一、問題提出

學生在運算過程中經常出現以下幾種錯誤：（a+b）2=a2+b2，am+n=am+an，loga（M+N）=logaM+logaN，sin（α+β）=sin α+sin β，教師往往僅通過特殊值法或者數形結合法驗證以上運算是錯的，沒有對其進行深入分析，這種做法簡單易操作，成效大，但是，這只是暫時解決了當前的問題，沒有從根本上分析學生為什么會出現這類錯誤，那么今后學生還會出現類似錯誤.例如，已知a是非零向量，且b≠c，求證：a·b=a·c a⊥（b-c）[1].很多學生直接利用乘法分配律求證，在沒有證明（a+b）·c=a·c+b·c時直接拿來用，雖然結果是正確的，但是這種做法是極其不嚴謹的，向量與實數有本質上的區別.我們知道，在人教版中向量的內容在必修4，函數在必修1，學生是先學函數再學向量，經過多次糾正，學生可能在函數中不會出現錯誤了，但是在向量中又會犯類似的錯誤，這說明學生并未認識到錯誤行為產生的根本原因，因此，我們很有必要對其進行深入研究.

二、問題分析

1.對數學概念理解不深刻

《數學辭海》中分配律的定義：乘法對加法（或減法）的分配律，簡稱乘法分配律.兩個數的和（或差）與一個數相乘的積等于被加數（或被減數）和加數（或減數）分別與這個數相乘，所得的積的和（或差），即（a±b）c=ac±bc[2] .這里，涉及的是乘法與加法或減法的運算，但是（a+b）2不僅僅涉及加法運算，還有乘方，同理，其他錯誤也是一樣的道理.從另一個角度分析，乘法分配律中涉及的字母本意是數，而sin（α+β），loga（M+N）中涉及的是sin，log，是一種運算符號，并不能代表數，所以不能進行遷移.

2.對數學符號認識不充分

首先，我們對學生的錯誤進行分析，抽象出共同特征，如下圖.

從圖中可以發現，學生在運算時，把a（b+c）=ab+ac 與f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）人為地強行聯系起來，在實數的運算與函數運算性質間建立了非實質性聯系，這不是一種有意義的學習，相反，是一種機械學習.

進一步分析，最終原因是學生對數學符號認識不充分，錯把f當成a，同樣是字母，但是所代表的意義不一樣，在f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）中，“f”是一種運算符號，表示按某種規定進行運算的符號稱為運算符號，例如，加、減、乘、除、開方、冪、sin、log、行列式等，

而a（b+c）=ab+ac中“a”是一種元素符號，表示數和幾何圖形的符號稱為元素符號[3]，在a（b+c）=ab+ac中，“a”代表的是數.因此，在教學過程中要加強數學符號的教學，明確符號所表示的概念，防止概念與符號之間脫節.

再補充一點，從上圖中我們可以看到，滿足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）性質的函數是正比例函數y=kx，同樣的，我們對冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的運算性質進行抽象，發現不同函數有不同的特征，具體內容見表1（表中抽象函數一列采用的符號是x和y，與前面符號不一致，因為在考試中經常遇到的抽象函數表達式中用的是x和y），而學生錯誤地將所有函數的運算性質的抽象形式歸結于f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）.

3.對數學的符號或形式認識比較單一

從上述分析中可以看出，a（b+c）=ab+ac 與f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）雖然形式差不多，但是內容相差很大，而抽象函數與特殊函數，比如，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）與y=kx從形式上看起來毫無聯系，但本質是一樣的.從更特殊的角度看，甚至有些形式或符號完全一樣，但可以用多種數學語義解釋，比如，a2+b2最基本的含義是a2+b2的算術平方根;在直角三角形中，可以表示以a，b為直角邊的斜邊;在直角坐標平面內，可以表示點（a，b）到原點（0，0）的距離;在復數域中，表示復數（a+bi）的模[4].反過來，同一數學內容也可以用不同的數學符號表示，例如，兩條直線垂直關系在中學數學里就有多種表達形式：在平面幾何中，兩直線 l1和l2垂直指的是兩直線的夾角是90°，表示為l1⊥l2;在三角形中，如果α+β=90°就有sin α=cos β;在解析幾何里，如果兩直線方程用點斜式表示，即y1=k1x1+b1和 y2=k2x2+b2k1k2≠0，那么兩直線的垂直關系就是k1k2=-1[5].

綜上可知，數學中的同一個數學表示形式可以做不同的語義解釋，同一種數學語義的內容可以用不同的數學語言形式表示.而學生往往只認識到符號或形式的一種含義，沒有意識到符號在不同內容中有不同的意義，這也說明了數學符號的意義是發展的、變化的，不是絕對不變的.符號意義的變化發展實際是其所代表的概念意義的變化發展，因此，我們應該用發展的眼光看待數學符號.

三、問題解決

1.重視數學概念的本質

數學概念是反映一類事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性的思維形式[6]，數學概念學習是其他內容學習的基礎，學生對于數學概念理解的準確程度直接影響后續學習的效率.前面分析到學生不自覺地將乘法分配律移到數學運算中是因為對乘法分配律概念理解不到位，如果學生理解到乘法分配律中只涉及加法、減法、乘法，不涉及其他運算，就不會隨意地將其遷移到其他數學運算中去.另外，三角函數是刻畫客觀世界中周期變化規律的數學模型，如果學生頭腦中有三角函數的圖像，并且知道sin（α+β）其實指的是兩個角的和的正弦值，可能就不會簡單地將a（b+c）與sin（α+β）建立非實質性聯系.所以，教師在教學中要花時間和精力去揭示數學概念的本質，闡明數學概念的來龍去脈，而教學中“掐頭去尾燒中段”的做法看似效率高，實際上是對短期目標的追求，忽視了長期目標，不利于學生數學核心素養的提升.