矩陣相似變換的性質和方法及其在考研數學中的應用

許偉志 蔣凌云

【摘要】線性代數是大學數學教育中的重要組成部分，是考研數學中的核心板塊之一.該學科抽象，概念多，定理多，性質多，這使得對基礎概念與解題方法不熟練的學生無從下手.近年來，線性代數考研題的跨度比較大，一個題目在解答時可能涉及多個章節的知識點，這給考生復習帶來了困難和阻力.但是，線性代數的題型和解題方法相對固定，有規律可循.為此，本文統計分析了近十年（2010—2020）全國考研數學三中關于求相似變換矩陣的相關考題，分析總結了三類典型的出題模式及不同的解題方法與相應注意事項，以期對考研中教師輔導和學生復習應考有所幫助.

【關鍵詞】考研數學;相似矩陣;特征值與特征向量;可逆矩陣;正交矩陣

矩陣相似與矩陣對角化[1]一直是考研的重要考點，其中求相似變換矩陣一直備受出題人的青睞[2].本人對近十年（2010—2020）全國研究生入學考試數學三試題中關于此知識點的出題情況及相關題型進行了分析和歸類，給出了解題的應對方法和思路，以方便教師輔導和學生備考時更好地掌握和滲透此知識點.

一、求相似變換矩陣的題型總體可以分為三類

第一類為已知矩陣A，B相似，且A，B都為一般型矩陣（非對角陣，非對稱矩陣），求可逆矩陣P，使P-1AP為對角矩陣，即為表1中的（1）類，屬于常規題型.

第二類為已知矩陣A，B相似，且A，B都為一般型矩陣，求可逆矩陣P，使P-1AP=B，這類題型計算量一般會大于第一類，表1中記為（2）類.

第三類為用正交矩陣將實對稱矩陣相似對角化的題型，這是考研的重點題型，出題頻率很高，因為二次型的矩陣為實對稱矩陣，所以這類題型就演變成了用正交變換化二次型為標準型的問題，表1中歸為 （3）類.

求相似變換矩陣一般以大題形式出現，分值都為11分，學生備考時應加以重視.

三、幾點建議

1.從近十年數學三考研真題來看，矩陣相似以及相似對角化出題比較頻繁，有大題也有小題，但對于求相似變換可逆矩陣P的題型一般以大題形式出現，綜合性強.這就要求學生對于基礎知識中的相似矩陣的性質、求特征值、求特征向量、特征值與特征向量所具有的性質，以及相似的過程變換都需要熟練地掌握，并理解透徹.因此，筆者建議同學們首先要打牢基礎，對于基本題型要多加練習，只有做到熟練掌握相關公式、性質和方法，對基礎題型訓練有素，才能很好地應對各種題型的變化.

2.求相似變換矩陣的題型中，一般計算量都比較大，要求學生在掌握方法技巧的基礎上，準確、迅速地運算出每一步的結果.所以，筆者希望同學們在平時的學習中要養成動手計算的習慣，不能盲目地追求方法技巧而忽視運算能力.復雜的運算能力是考研大綱中對考生的基本要求，這種能力的提升只有靠平時多加練習才能獲得.

3.學會知識的融會貫通.以2020年的第20題為例，很多同學考完試后就感嘆這一年的線性代數出題不常規.其實在老師看來，這題再常規不過了，只要你平時對每一個知識點的基礎題型訓練到位，同時在做題后能養成一個歸納分析的習慣，那么像這類既涉及二次型，又需要對相似的兩個矩陣對角化的綜合題，解決起來思路自然會很清晰，并且在出題人將矩陣降到了二維的基礎上，計算也自然會很順暢.所以，筆者建議考生在備考的強化階段一定要自主歸納知識體系，在掌握基礎知識點、基礎題型后要學會思考每一章節知識點間的聯系，對考試大綱進行分析，梳理知識點，歸納重要考點的典型考題的多種解題思路與方法，形成自己的數學思想方法，這樣不僅能應付各類題型的變換，而且可以簡化計算，提高速度.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.線性代數：第六版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]李永樂.線性代數輔導講義[M].西安：西安交通大學出版社，2010.